动态规划在装备更新优化中的应用

摘要： 运用运筹学中动态规划的理论和方法来解决航空装备更新问题，与传统的凭经验确定装备更新策略的方法相比，节约了成本，显著提高了军事效益，为科学制定装备更新策略提供了依据。

关键词： 动态规划；装备更新；更新策略

中图分类号：O221.3 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）31-0064-03

0 引言

动态规划是一种数学方法，属于运筹学的一个分支，其目的是使多阶段决策过程最优化。动态规划的方法广泛应用于经济管理、工程技术、生产调度、最优控制和工农业生产及军事等方面。动态规划是一种重要的决策方法，可以用来解决装载和排序、最短路线、最优路径、设备更新、资源分配、库存管理、生产过程最优控制等问题。许多问题常常用线性规划或非线性规划来解决，但仍不如用动态规划更行之有效。因为解析数学无法解决离散性的问题，用动态规划的方法就比其它的方法更有优势。

在航空装备技术保障工作中，经常会碰到设备陈旧或部分损坏需要更新的问题，通常航空装备技术人员会依据经验来制定更新策略，然而这种方法并不能最大程度地提高装备总效益，相比之下，运用动态规划方法能将装备的总收益提到最高[1]。本篇文章主要内容就是介绍动态规划在装备更新优化中的应用。

1 动态规划的方法介绍

1.1 动态规划的基本概念

1.1.1 阶段 阶段是指为了便于按一定的次序去求解，而把装备更新问题的过程恰当地分为若干个相互联系的阶段，人们常用符号k表示阶段变量，阶段变量指描述阶段的变量，计划的阶段总数用符号n来表示。

1.1.2 状态 所谓状态是指每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。人们常用符号sk表示第k个阶段的状态变量，状态变量是指描述过程状态的变量[1]。

1.1.3 决策 所谓决策是指通过一个过程处于某一阶段的某个状态作出的不同决定来确定下一阶段的状态。人们常用符号uk（sk）表示第k阶段，当状态处于sk时的决策变量，它是状态变量的函数。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在某一范围内，此范围称为允许决策集，人们常用符号Dk（sk）表示第k个阶段上基于状态sk可能作出的所有允许决策行为的集合，显然有uk（sk）∈Dk（sk）。

1.1.4 策略 策略是一个集合，这个集合是按顺序排列的决策组成的。问题的k子过程是指由过程的第k阶段开始到终止状态为止的过程。1.1.5 状态转移方程 确定过程由一个状态转移到另一个状态的演变过程称为状态转移方程。如果给定第k阶段状态变量sk的值，同时又确定这一阶段的决策变量uk，那么也就完全确定第k+1阶段的状态变量sk+1的值，即sk+1的值随sk和uk的值变化而变化，那么这种对应关系可以记为sk+1=Tk（sk，uk）[4]，此式称为状态转移方程，Tk称为状态转移函数。

1.1.6 指标函数和最优值函数 指标函数是一种数量指标，这种数量指标是用来衡量所实现过程的优劣的。指标函数也是一种数量函数，这种数量函数通过定义在全过程和所有后部子过程上确定，指标函数常用Vk，n表示[5]，即

Vk，n=Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1），k=1，2，…，n对于要构成动态规划模型的指标函数，Vk，n可以表示为sk、uk、Vk+1，n的函数，满足以下递推关系[6]：

Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=？准k[sk，uk，Vk+1，n（sk+1，…，sn+1）]

常见的指标函数有如下两种：

其中vj（sj，uj）表示第j阶段的阶段指标，则上式又可以记为[8]：

Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=vk（sk，uk）+Vk+1，n（sk+1，uk+1，…，sn+1）

②过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积[9]，即：

这时就可写成

Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=vk（sk，uk）Vk+1，n（sk+1，uk+1，…sn+1）

指标函数的最优值，称为最优值函数，记为fk（sk）[10]。它表示从第k阶段的状态sk开始到第n阶段的终止状态的过程，采用最优策略所得到的指标函数值，记

1.2 动态规划的基本思想和基本方程 最优化原理是动态规划的核心，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略，这些是最优化原理的性质。运用最优化原理可以将多阶段决策问题的求解过程看作一个连续的由后向前逐步推算的递推过程，在求解问题时，各状态前面的状态和策略，相当于后面子问题的初始条件，并不影响后面的最优决策。

设指标函数是取各阶段指标的和的形式，那么动态规划逆序解法的基本方程为[12]

边界条件为fn+1（sn+1）=0。

其中n表示计划的阶段总数，k表示阶段变量，fk+1（sk+1）表示从第k+1阶段到第n阶段采取最优策略所得到的指标函数值，vk（sk，uk）表示第k阶段的阶段指标，fk（sk）表示从第k阶段到第n阶段采取最优策略得到的指标函数值，“opt”在装备更新问题中取max。

2 装备更新问题求解

某型保障装备的年保障效益及维修费、更新费如表1，试作出5年内的更新策略，使得其总收益最大。

表1中，rk（t）表示装备在第k年已服役t年，再使用1年的保障效益；wk（t）表示在第k年装备已服役t年，再使用1年的维修费用；ck（t）表示在第k年报废（卖掉）一台旧设备，购置一台新设备的净更新费用。

本问题为一个5阶段的决策问题。设阶段k=1，2，…，5表示计划使用该装备的年限数；状态变量sk表示第k年初装备已服役的年限；决策变量uk表示第k年初是保留，还是更新使用该型装备（uk=R表示更新，uk=K表示保留）。状态转移方程为

3 应用分析

传统的装备更新策略的确定方法，大都依赖航空装备技术人员的经验而定，以五年装备更新为例，技术人员依观察和经验作出的装备更新策略为{K，K，R，K，R}，即第一年初购置的保障装备到第3、5年初各更新一次，其总效益Z为

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5=（r（0）-w（0））+（r（1）-w（1））+（r（0）-w（0）-c（2））+（r（1）-w（1））+（r（0）-w（0）-c（2））=21.2

显然，与动态规划方法相比，没有理论支持的传统的装备更新方案得到的总效益较低。

4 结束语

在装备使用过程中，一方面，装备性能下降或落后，需要进行维修甚至更新；另一方面，进行维修或更新需要费用，为此，应尽可能提高保障效益，减少所耗费用，达到总效益最大的目标。动态规划很好的为决策者作出了每个阶段的规划，使整个装备使用过程取得最佳效益。

参考文献：

[1]俞玉森主编.数学规划的原理和方法[M].武汉：华中工学院出版社，1985.

[2]Dreyfus S E， Law A M. The art and theory of Dynamic Programming[M]. Academic Press， 1977.

[3]王晓迪.高等学校教育装备管理决策支持研究.[EB/OL].中国知网.2011.12.01.

[4]李维铮，甘应爱，田丰.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2005.

[5]张丽叶.装备更新经济性分析[J].装备学院学报，2012，23（5）.

[6]赵经成，祝华远，王文秀.航空装备技术保障运筹分析[M].北京：国防工业出版社，2010.

[7]郭文晖.军事装备管理创新[M].北京：国防工业出版社，2010.

[8]陈庆华.装备运筹学[M].北京：国防工业出版社，2005.

[9]王铁宁.装备管理信息系统原理与应用[M].北京：国防工业出版社，2013.

[10]沈贵林.基于动态规划的物流装备更新决策方法[J].2006，29（12）.

[11]Wayne L. Winston. Operations research[M].北京：清华大学出版社，2011.

[12]杨媛媛.装备更新决策综合方法[J].2002，13（4）.

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