银行排队问题分析及系统优化策略研究

摘要：在国内银行业中，排队等待问题是影响银行服务质量和服务水平的重要因素。采取有效措施，妥善解决排队等待问题已成为我国银行业的当务之急。文章以运筹学作为理论基础，建立数学模型，深入分析银行服务系统排队问题，为银行合理优化服务系统提供决策参考。

关键词：排队问题；运筹学理论；数学模型；优化服务

一、引言

银行网点排队问题已成为当前社会关注商业银行服务的焦点，更是贯穿与现代银行经营管理和市场营销的始终，排队问题反映出的是国内银行对服务意识和渠道营销的重要性认识不够。随着我国金融改革的不断深入，以理财和个人信贷业务为核心的一系列业务逐渐成为各大商业银行的重要利润来源，银行零售业务越来越在银行竞争中发挥核心作用。在目前银行业市场竞争激烈的大背景下，如果排队现象得不到有效改善、客户等待时间过长，便会引发银行服务投诉的增多和部分存款的流失。因此，各商业银行需要重新认识和定位网点功能，重新布局规划银行服务渠道，以及对现有网点进行改造和转型，深入研究客户排队问题。一般地，银行排队主要由顾客数量、服务窗口和服务效率等因素决定，所以权衡客户等待成本与银行提高服务水平所增加的成本之间的得失，是真正解决银行排队难题的重点。

二、银行排队问题分析

1、服务系统的构成

银行网点排队问题作为一个典型的排队服务系统，其基本结构包括顾客、服务时间、服务结构和排队规则。（1）顾客：随机到达的顾客数量服从泊松分布，满足平稳性、无后效性、普遍性和有限性的假定，系统中顾客数目不影响客户到达服务系统的速率。（2）服务时间：相邻两个顾客离开系统的时间间隔，在一般情况下，服从参数为μ的指数分布，其中μ为平均服务效率。（3）服务结构：银行服务系统属于多通道的并联系统。（4）排队规则：银行服务系统是介于损失制与等待制之间的混合制系统，是一种先到先服务的排队规则。银行排队系统如图1所示。

2、服务系统运行指标

为使用上方便，本文使用肯达（kenda）与A.M.里氏（lee）归纳的服务系统一致的指标符号。银行排队系统有几个性能指标：系统中平均排队长度Lq（系统中排队等候的顾客数）；顾客在系统中的平均等待时间Wq；顾客在系统中平均逗留时间Ws；系统平均总顾客数Ls。常用的数量指标：顾客平均到达率λ；顾客有效到达率λe；窗口平均服务率μ；系统中并联服务窗口数S；服务强度，即每个服务窗口单位时间内的平均负荷ρ；系统空闲概率P0；系统处于平衡状态时有n个顾客的概率为Pn。

3、建立合理的数学模型

对于一个服务系统来说，最重要的是了解系统在达到稳定状态以后的各项运行参数和指标。在服务系统中，假定用系统中的顾客数表示系统的状态，则系统状态就是一个n=0,1,2，…的间断过程。顾客的到达或离去都将引起系统从一个状态向另一个状态的变化，即为一个生灭过程。银行的排队系统也满足生灭过程的三个假设条件：（1）顾客到达服从参数为λ的泊松过程。（2）服务时间间隔服从参数为μ的指数分布。（3）对于充分小的时间间隔△t,在区间[t，△t+t]内最多到达一个客户。所以，银行服务系统的生灭过程状态转移图如图2所示，图中数字表示系统可能的状态，状态间箭头表示状态转移方向。λi表示从状态i转变到状态i+1时的顾客到达速率，μi表示从状态i+1转变到状态i时的顾客离开系统的速率。

建立生灭过程的稳态方程得到系统在达到稳定状态以后的各项运行参数和指标。系统的任意状态n（n=0，1，2，…）达到稳态的平衡条件是产生该状态的平均速率等于破坏该状态的平均速率。现根据这个平衡条件，建立生灭系统的状态平衡方程。

对于系统状态n=1的情况，产生和破坏n=1状态的可能性有下面四种情况，如表一所示。

当产生n=1状态的概率与破坏n=1状态的概率相等时，即当

时，系统达到n=1的稳定状态。

同理，依此类推，当产生n=k状态的概率与破坏n=k的概率相等时,即

系统保持n=k的稳态。

由此得到一组稳态平衡方程：

将以上关系式经n次迭代最后可得：

既有

（1）

表示系统处于平衡状态时有n个顾客的概率。

设

又因

所以，银行系统空闲的概率： （2）

系统中总顾客数的数学期望值： （3）

如果银行系统中有S个服务窗口，那么当第S+1个顾客到达银行时开始出现排队现象，因此

银行中排队顾客的数学期望值： （4）

为计算顾客在系统中平均逗留时间Ws与等待时间Wq，引入李太勒（Little）公式。李太勒证明了对于任何的服务系统，无论顾客到达流和服务时间服从何种概率分布，也不论何种服务规则，顾客在系统中和队列中的平均等待时间可以用公式

（5）

求解得到。其中，λe为顾客有效到达率：

因为对每个顾客的平均服务时间为1/μ

所以，顾客在系统中和队列中的等候时间满足关系式：

（6）

下面就银行常见的服务系统，利用生灭过程的一般公式和李太勒公式来分析银行系统的优化问题，进而解决银行排队等待的难题。

三、银行服务系统的优化问题分析

任何一个银行服务系统都有服务费用和排队损失两个方面的问题。在正常情况下，服务费用增加，服务水平就高，顾客等待的时间就短，排队损失就少。反之，减少服务费用，服务水平就降低，顾客等待时间延长，排队损失随之增大。因此，对于整个银行服务系统来说，就有一个使这两方面的损失和最小的优化问题。但其难点在于如何将费用来衡量排队损失，以便能够和服务费用进行比较，这就是排队损失的价格化问题。对于开放式服务系统而言，影响排队的因素很多，很难将排队费用量化。这里假设银行服务系统为封闭型系统，则可以找到等待时间的价格化函数。所以，银行服务系统优化问题就是寻求系统总费用最少服务水平最高的点。即minE（TC）=E（SC）+E（WC）

其中，E（TC）表示总费用的数学期望值；E（SC）表示服务费用的数学期望值；E（WC）表示等待费用的数学期望值。

下面就以此为理论依据，讨论银行服务系统的三种优化情况。

1、服务系统中服务效率μ的优化问题

在一般情况下，为提高服务效率就要增加服务费用。假定μ值与服务费用呈线性关系，即SC=Csμ，式中Cs代表μ值增加一个单位所需增加的费用。假定已知等待费用函数为：WC=CWLS，式中CW为每个顾客在系统中停留的单位时间损失的费用。

所以，总费用：TC=Csμ+CWLS

对于简单的[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]系统

LS■

TC=Csμ+CW■

所以TC=Csμ+CW■

令■=0

可得，最优的服务效率：μ*=λ+■

当μ为离散变量时，且μ1＜μ2＜…＜μi＜μm，先把μ当连续变量处理，由上式得到μ*。如果μ*值就是μi序列中的一个值，则μ*就是最优解。如果μ*不是μi序列中的值，那么μ*应满足TC（μ*）=min[TC（μk），TC（μk+1）]，μk＜μ*＜μk+1

2、服务系统中最佳服务窗口数S的优化问题

在[M/M/S]系统中，服务系统单位时间总费用的期望值可表示为：

TC=C′SC+CWLS

式中，C′S表示一个服务窗口的单位时间成本；CW表示一个顾客在系统中停留单位时间的费用。

因为Ls也是服务窗口数S的函数，所以TC=f（S），且是一个不连续的函数（S=1，2，…）。故采用边际分析法求解使函数f（S）最小的S*值。

根据f（S*）是最小值，下列不等式成立：

f（S*）≤f（S*-1）f（S*）≤f（S*+1）

最后，可得最优的服务窗口数S*满足：

LsS*-Ls（S*+1）≤■≤Ls（S*-1）-LsS*

依次求出S=1,2，…时的Ls与■值，得到最优的S*值。

下图体现了[M/M/S]模型的经济分析中成本曲线的大致形状，服务成本随着服务窗口数的增加而提高，但更多的服务窗口可带来更好的服务。其结果是，等候时间及其成本随着服务窗口数的增加而减少。银行为提高服务水平、降低成本，可以通过对几个设计方案进行评估求得最优的窗口数S*，从而得到较好的总成本接近最低水平的设计。

3、1个[M/M/2]系统和2个[M/M/1]系统的比较与优化问题

涉及服务系统设计方案的决策往往建立在对系统运行参数进行客观评价的基础上。例如某商业银行为解决排队问题，向客户提供更加便捷的服务，准备增加业务窗口，现有两个方案：一个是在该银行营业网点附近再增设同样规模的网点；另一个是在原网点增加一个服务窗口。就两种方案从服务效率和费用成本两方面出发作出评估分析。

假设顾客平均到达率λ=0.6人/分，银行的服务效率μ=0.4人/分。

方案一：相当于两个[M/M/1]系统，认为顾客到达每个网点的人数是相等的，则顾客到达的速率λ1=0.3人/分。又因两网点服务效率也相同，故两个同样规模的银行网点的运行参数与原来一个网点的运行参数完全一样。

方案二：相当于一个[M/M/2]系统，λ=0.6人/分，μ=0.4人/分，S=2，则系统服务强度ρ=λ/Sμ=0.75＜1。

两种方案运用生灭过程的一般公式和李太勒公式，得到各方案的系统运行参数对比，如表2所示。

对比以上参数可以看出，一个[M/M/2]系统要比两个[M/M/1]系统的服务水平更好，以此类推。这也说明，一个系统中的排队队列共享的服务窗口数越多，服务效率就越高。这一点应该是所有商业银行在设计服务系统时考虑的一个重要特点。

四、银行服务系统的优化方案

通过建立银行排队问题的数学模型以及对该模型的求解，分析了银行排队问题的解决思路。造成银行排队问题的原因是多方面的，因此必须多管齐下，针对性的解决问题。可以通过合理调配对外服务窗口数量，实行弹性工作制、配齐大堂经理等措施降低客户的等待时间，增加电子自助的投入、合理规划网点、进行网点业务流程再造等是银行应当采取的重要应对策略。

1、改进服务流程，提高服务效率

围绕提供给客户服务的整个流程，进行重新整理和分析．消除其中的无效率工作，增加流程的效率性、方便性，减少客户等待时间。充分发挥大堂经理的职责：第一，对本网点的服务质量进行管理和监督，及时纠正违反规范化服务标准的现象；第二，识别高、低端客户，实行差别化服务；第三，根据客户的需求，向客户推介和营销金融理财产品。同时，加大对柜员的培训力度，增强对柜员的考核激励，通过定期检测、客户满意度调查，及时掌握服务质量状况。进一步完善服务投诉处理机制，高效解决问题，切实改进金融服务，提升服务质量。

2、综合布局营业网点，合理调配窗口设置

加大在业务量较大的地区，特别是经济发展热点地区、繁华商业区、大型居民社区、大型批发市场周边以及新建的、配套设施不完善的地区的网点建设，适当减小每个网点的服务半径，以较好的满足金融服务需求。另外，根据客户允许等待时间最少的优化原则，调整窗口数量，在不同的工作段、不同的工作日设置不同数量的窗口数量，弹性调整服务时间。增加系统中的排队队列共享的服务窗口数，推进对公对私一体化的综合窗口制度，合理利用窗口资源。

3、加大推广自助化服务的渠道和手段

商业银行要加大对电子银行产品的宣传引导，针对不同层次客户群的服务需求，提供适宜的电子银行产品，通过不断提升电子银行普及率，充分发挥电子银行产品对传统银行柜台业务的辅助作用。加强自助产品功能的开发，引导客户通过网上银行、电话银行和ATM自动存取款机等方式办理业务，最大限度的缓解柜面压力。另外，各银行应该适当减免一些电子银行的交易费用，通过级差制定价，以能提高自助设备的利用率和交易量。最重要的是提高电子银行的安全系数，打击一些钓鱼网站和诈骗行为，为客户提供安全的服务环境。

五、总结

本文运用经典的排队论知识解决排队问题，优化服务策略，减少客户排队时间，提高顾客满意度，提升银行同业间竞争力，为现代商业银行经营管理提供决策参考。从存款、转账到缴纳各种费用，银行的每一项业务都关系着民生。增强服务意识，努力改善服务质量，让老百姓享受到应有的优质高效服务永远是银行最大的社会责任。总之，银行排队问题有其深刻的经济根源，具有长期性的特点，只有认清问题产生的根源，采取针对性措施才能从根本上有效地缓解银行排队问题。

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