浅析对心碰撞后的速度

摘 要 物体对心碰撞后的速度与恢复系数有关。文章首先阐述了恢复系数，进而探讨了对心碰撞中的速度问题。

关键词 速度 恢复系数 对心碰撞

中图分类号：O313.4 文献标识码：A

Talking about the Speed after Central Collision

HUANG Wei

(College of Physics and Electronics, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001)

Abstract: The speed of objects after the central collision is related with the coefficient of restitution. This paper described the coefficient of restitution, and then explored the issue of speed in the central collision.

Keywords: speed; coefficient of restitution;central collision

0 引言

碰撞是物体间极短的相互作用，物体碰撞前后发生速度、动量或能量的改变，它在我们身边无处不在如打夯、击球、导弹的发射以及原子、分子间的碰撞等等。对心碰撞作为碰撞的一种特殊情况，是经典力学中的常见模型，学好对心碰撞有助于我们今后更深层的学习。

1 恢复系数

由牛顿碰撞定律给出的恢复系数的定义为碰撞过程的恢复冲量与压缩冲量之比，即

= ① （1—1）

在碰撞的短暂时间内，两个小球首先相互接触，接着相互挤压，两球分别产生形变和试图恢复形变的力。的速度从逐渐变小，速度逐渐增大，直到变为同一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为压缩阶段。随后两球形变逐渐恢复，的速度继续变小，速度继续增大，两球的速度分别达到，后开始分离，这是恢复阶段。②

1.1 压缩阶段

两球速度不等至两球的速度相等，弹性力作用，球体发生形变。设弹性力对的冲量为，有

= - ， = 消去，

得 = （ + ）或 = （） （1—2）

1.2 恢复阶段

两球的速度相等至两球分开，形变逐渐恢复。设弹性力对的冲量为，有

= - ， = 消去，

得 = （ + ）或 = （）（1—3）

由（1—1），（1—2），（1—3）可得

=（1—4）

恢复系数的大小只与两碰撞体的质料有关，而与碰前的速度无关。这里，和，分别表示两球碰后和碰前沿两点连线方向的速度分量。显然，通过测定两个正碰物体的碰前和碰后速度，即可得到恢复系数。恢复系数所说的恢复，是指无放能(含无爆炸)情况下的恢复。通常认为这种意义下的恢复系数满足0≤≤1 。③

2 对心碰撞

两物体的碰撞过程，通常发生在比较短暂的时间内，在这段时间中，物体间的相互作用非常强烈，外界对这两物体或无作用，或虽有力的作用（如摩擦力、重力等），但只要作用力是有限的，其冲量就可以忽略，系统动量就守恒。

如碰撞前两物体（小球），的速度，均沿两球中心连线，这样的碰撞称为对心碰撞或正碰。在正碰情况下，碰撞前后两物体（小球）的速度方向在同一直线上，如图1。

碰撞前

碰撞后

图1

取两球中心连线为坐标轴，以的方向为轴的正方向，由动量守恒，有

+ = +（ 2—1 ）

2.1 一般碰撞

在碰撞过程中，两球压缩之后没有完全恢复，形变有部分消失，则恢复冲量小于压缩冲量，由恢复系数的定义及正碰下恢复系数满足的条件有：

0 1或0 1

我们称这类为一般碰撞。解决这类问题时，只需恢复系数的一般式 = 及动量守恒定理 + = + 就可以解决。如，已知碰前求碰后速度根据（1—4）、（2—1）两式得：

= （）（）；

= + （）（）

2.2 完全非弹性碰撞

在碰撞过程中若两球碰撞过后并不分开，合为一体，以同一速度运动，即恢复过程完全消失，恢复冲量为零，则 = 0，叫作完全非弹性碰撞。解决此类碰撞后的速度问题只需由动量守恒：

+ = （ + ） 得 =

当被碰球碰前静止 = 0时得 = ④

2.3 完全弹性碰撞

在碰撞过程中若碰撞前后两球相对速度大小不发生变化，恢复冲量与压缩冲量相等，即 = 1，叫完全弹性碰撞。解决此类碰撞后的速度问题只需联系动量守恒：

+ = + （2-3-1）

= 1 （2-3-2）

由（2-3-1） ，（ 2-3-2）两式，有

= （） + （）（2-3-3）

= （） + （）（2-3-4）

从（2-3-3）（2-3-4）可知，碰后的速度与碰前速度及两球的质量有关，下面讨论几种特殊的情况。

（1）当 = 时，根据 ( 2-3-3 ) ，( 2-3-4 ) 可得

= ， =

即两球经过碰撞而交换速度，如果被碰球碰前静止，即 碰球的速度完全转换为被碰球的速度。

（2）当 = 0时。这是常见的碰撞情况，即受碰球碰前静止。碰撞后两球的速度大小根据（2-3-3）（2-3-4）可得

= ， = （2-3-2-1）

如果 ，则 = - ，≈0即碰撞后，大球几乎仍然静止，小球以相等的速率返回。

如果 = ，则 = 0， = ， 即碰撞后，两球的速度交换，碰后会突然停止，而接过的速度继续前进。

如果 ，则≈，≈2，即大球几乎以原来的速度继续前进，而小球以两倍于大球的速度前进。⑤

3 结论

综上所述，关于对心碰撞后的速度有以下几点总论。

第一， 一般碰撞0 1时，对心碰撞后主碰物体（球）与被碰物体（球）的速度、分别为，

= （1+）（）；

= + （1+）（）

第二， 完全非弹性碰撞 = 0时，对心碰撞后主碰物体（球）与被碰物体（球）的共同速度， =

当被碰球碰前静止 = 0时， =

第三， 全弹性碰撞 = 1时，对心碰撞后主碰物体（球）与被碰物体（球）的速度、分别为，

= （） + （）；

= （） + （）

（1）当≠0且 = 时 = ， = ，即两物体交换速度。

（2）当=0时，①如果 ，则 = -， ≈，即碰撞后，大球几乎仍然静止，小球以相等的速率返回。②如果=，则 = 0， = ，即碰撞后，两球的速度交换。③如果 ，则≈，≈2，即大球几乎以原来的速度继续前进，而小球以两倍于大球的速度前进。

注释

① 梁昆淼编著.力学（3版）.北京:高等教育出版社,1995.

② 杨维纮编著.力学（2版）.合肥:中国科学技术大学出版社,2004.11.

③ 翟琛.中国科学技术大学出版社恢复系数e的探讨[J].呼伦贝尔学院学报,2005.13 (5):30-30.

④ 漆安慎,杜婵英.普通物理教程.力学（2版）.北京:高等教育出版社,2005.6.

⑤ 郑永令,贾起民,方晓敏等编.力学（2版）.北京:高等教育出版社,2002.8.

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