基于偶应力的平面应力有限元分析
材料科学与工程中，连续介质力学曾在推动了先进新材料的发展。在现代微纳米机电系统（MEMS）领域，MENS系统中整个尺寸都小于10μm。为了验证细观尺寸下材料的性质，很多专家设计了一些实验测量小尺度材料，这些实验表明：当非均匀塑性变形的特征长度达到微米量级时，它表现出的属性可能与材料的本身属性具有很大的差异，材料呈现出很强的尺寸效应。现在的设计工具如有限元方法（CFEM）和计算机辅助设计（CAD），都是以经典连续介质力学为基础的，不适合这么小的尺寸进行分析。
2 考虑偶应力情况下二次开发ANSYS方法
在考虑偶应力平面单元中，除了经典连续力学中的正应力和剪应力之外，另外还有偶应力的作用。如图1所示，在笛卡尔坐标下，正交的X，Y方向还有一个偶应力作用，与宏观结构中的力偶很相似。考虑偶应力作用，微元体也将形成新的力和力矩的平衡。
图1 考虑偶应力平面问题任意一点应力分布图
由力平衡和力矩平衡得到（不计体力，体力偶）下列方程：
，，（O为形心）
刚度矩阵计算采用了高斯（GAUSS）积分法，部分程序如下：
SUBROUTINE MODPS（Y，P）
IMPLICIT REAL*8（A-H，O-Z）
DMATx}I，}=o.o
ENDDO
CoNSTl=Y*}l.o-p}/}}l.o+p}*}l.o-2*p}}
CoN sT2=Y *p/}} 1. o+p} * }1. 0-2 *p}}
CONST3=1.44*Y /（1+P）
DMATX（1，1）=CONSTI
DMATX（2，2）=CON ST 1
DMATX（5，5）=CONST3
RETURN
END
DJACB=xJACM}I，I}*xJACM}2，2}-xJACM}2，I}*xJACM}I，2}
将编好的Fortran子程序（如uelmatx.f）放置到ansys＼v 13 0＼ansys＼custom＼user＼winx6文件夹；点击该文件夹中abscust.bat批处理文件，生成ansys.exe；激活UPFs，点击点ansys13.0>mechanical apdl product laucher， custom ansysexecutable为用户生成的ansys.exe路径。设置也可采用GUI方式。前处理以后，求解以前必须用命令流（usrcal，uelmatx）激活UPFS。也可用GUI方式，后继操作不变。
3 基于偶应力的平面体静力学分析
为了研究偶应力对结构有限元分析的影响规律，采用不同网格进行计算分析。如图2所示的结构是由一端固支的短悬臂梁拓扑优化获得的结果。右端部的受到分布力的作用，为2200Pa，方向为垂直向下。材料为密度ρ=7.85×10-9t/mm3，材料内禀长度为2.88μm，弹性模量E=2.1×105MPa E=2.1x105MPa，泊松比u=0.3，厚度为0.5mm。
图2 短悬臂梁优化后的模型
分别以边长为0.lmm，O.O5mm，O.O3mm，O.O1mm，0.005mmm将结构划分5种不同网格大小的有限元模型，按照上述五种不同尺寸网格，在未考虑偶应力情况下，有限元分析获得的von mises最大应力见表1.可以看出随着网格密度增加，构件的von mises应力有不断增大趋势。不同的网格，计算模型的应力有较大差别。
表1未考虑偶应力最大应力单元边长（mm）0.10.050.030.010.005
最大应力（MPa）1951.119741996.182217.982479.6
4 结论
通过不同密度网格的有限元分析，比较考虑偶应力与未考虑偶应力两种情况的应力结果，发现对于相同的网格疏密度模型，考慮偶应力的模型比没有考虑的模型最大应力明显减小。考虑偶应力情况下，并没有像未考虑偶应力那种随着网格密度增加，应力不断增加的现象。但是随着网格密度增加，单元基本尺寸变小，接近于材料的内禀长度时，应力反而会减小。
参考文献：
[1]张波.基于偶应力有限元方法[D].山东：山东大学，2006.