Catalan猜想

1842年，比利时数学家卡塔朗（E.C.Catalan）提出问题，后人称之为卡塔朗猜想：所有两个连续整数中是否只有8（=23）和9（=32）是两个非零整数的“纯”整数幂？换言之，丢番图方程xp-yq=1（p，q>1）是否只有正整数解（x，y，q）=（3，2，3）？这个问题（按肯定形式的提法）就是数论中著名的卡塔朗猜想。其后人们对此问题进行了长期研究，伴随产生一些有关（类似的）猜想（例如，其中变量的取值范围适当扩大），得到一些阶段性成果（主要是对于方程的特殊情形的探讨），催生了多种数论技巧。直到2002年，罗马尼亚籍的瑞士数学家P.Mihailescu才肯定地解决了这个猜想，距问题的提出恰好整整160年。本书是关于这个问题的最新专著。作者是三位法国数论学家，长期研究丢番图方程，其中第一作者是Mihailescu工作的主要审查人，曾两次发表论文阐述Mihailescu证明的思路和方法。

全书由13章和6个附录组成。正文按内容可划分为4部分。第1部分 含第1章：1.是引言，简要地给出研究该问题的发展史，重要的阶段性结果和方法（解析方法和代数方法），以及1999-2002期间Mihailescu解决猜想问题的过程。第2部分（第4，5，7，10，12章）论述分圆域的一般理论，给出解决卡塔朗猜想问题的基本代数工具。其中第4，5，7，10章分别给出分圆域理论的基本概念，L级数和类数公式，高斯和以及经典的Stickelberger 定理，分圆单位；第12章证明了Thaine 定理，它与Stickelberger 定理一起给出了分圆域的类群的零化子，在Mihailescu的证明中起着重要作用。第3部分（第2，3，6，8，9，11章）完整系统地给出Mihailescu的证明，其中第2，3，6章包含历史上关于卡塔朗猜想的一些研究成果，主要是Cassel的整除性定理和关系式，还有勒贝克、柯召等的方程特殊情形的解等，其中有些结果被应用于Mihailescu的证明中；第8，9，11章给出了Mihailescu的证明，特别包含了对证明思路和关键点的分析和论述。第4部分（第13章）简要地讨论了解析方法，即Baker对数线性形的应用和Tijdeman的工作。虽然解析方法并未最终解决问题，但仍不失为一个重要的数论方法，并且在Mihailescu的最初给出的证明中，曾应用了由此方法得到的某些估值。6个附录提供了本书正文用到的关于代数和代数数论的知识（包括证明）。

与目前出版的关于卡塔朗问题的其他3本专著比较，本书一个显著特点是：内容全面，论述细致。例如包含了Mihailescu最初的证明（应用了对数线性形和计算机的辅助），以及最后的纯代数证明，并且阐述了如何避免对数线性形和计算机辅助。另一亮点是取材做到自给自足，包含了所有需要的数学工具知识，只要求读者具备大学基础代数知识。因此本书不仅可供数论研究人员参考，也可作为数论等专业研究生和大学高年级学生的读物。

朱尧辰，研究员

（中国科学院应用数学研究所）

Zhu Yaochen，Professor

（Institute of Applied Mathematics，CAS）国外科技新书评介2015年第9期（总第341期）物理学物理学国外科技新书评介2015年第9期（总第341期）Dimitris A.Papaconstantopoulos

Handbook of the Band

Structure of Elemental Solids

Dimitris A.Papaconstantopoulos

2015

http：//link.springer.com/book/

10.1007/978-1-4419-8264-3

E-ISBN9781441982643

P-ISBN9781441982636

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