关于正整数的四次方部分数列
On the Positive Integer Part of the 4-th Power
Zhang Shaojie
Shaanxi Institute of Technology，Xi"an 710300，China）
摘要： 设n 是正整数，u(n)表示不超过n 的最大四次方部分，v(n)表示不小于n 的最小四次方部分。本文的主要目的是研究数列 u(n)和v(n)的均值性质，并对罗马尼亚数论专家F.Smarandach 教授在文献[1]中提出的第41个问题做出实质性进展，利用解析分析方法给出了包含这两个数列及除数函数的几个有趣的渐近公式。
Abstract: For any positive integer n，let u4(n) and v4(n) denote the inferior and superior the 4-th power part of n respectively. The main purpose of this paper is to study the asymptotic properties of the sequences u■(n) and u■(n), Romania and a number of experts Professor F. Smarandach in the literature[1] the first 41 to make substantial progress in the problem, using analytical methods to resolve, given included the two divisor function series and several interesting asymptotic formula.
关键词： 四方部分 均值 渐近公式
Key words: 4-th power part；mean value；asymptotic formula
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）29-0221-02
1引言及结论
1993年罗马尼亚数论专家F.Smarandach教授提出了正整数n的k次幂部分数列。
定义：设对整数n，n的k次幂部分数列定义如下：
u■（n）=maxm■m■?燮n，m∈N■，v■（n）=minm■m■?叟n，m∈N■，其中k∈N■，称u■（n）表示不超过n的最大k次方部分，亦称为下部k次幂部分数列，称v■（n）表示不小于n的最小k次方部分，亦成为上部k次幂部分数列。例：当k=4时
u(1)=1,u(2)=1,u(3)=1,u(4)=1,u(5)=1, …，u(16)=16,…。
v(1)=1vb(2)=16,v(3)=16,v(4)=16,v(5)=16,v(6)=16,…。
对于任何正整数n，当h4?燮n<（h+1）4时，u4（n）=h4，当
h4 在文献[1]的第41个问题中，罗马尼亚数论专家F.Smarandach教授要求我们研究数列u4（n）和v4（n）的性质。有关正整数n的k次幂部分数列的性质，文献[2]利用初等的方法研究了正整数的平方部分与立方部分的求和公式；文献[3]利用计算机程序研究了自然数幂和公式的计算机实现；文献[4-5]利用解析的方法研究了关于正整数的立方部分数列的均值公式。最具典型的是著名数论专家教授张文鹏在文献[4]给出了关于正整数的立方部分数列的两个精确的渐近公式，即 ■d（u（n））=■Axln■x+Bxln■x+Cxlnx+Dx+Ox■ ■d（v（n））=■Axln■x+Bxln■x+Cxlnx+Dx+Ox■ 其中A=■1-■，B，C，D是常数，■表示对所有的素数求和。 本研究主要利用欧拉公式、阿贝尔恒等式、欧拉积公式和Perron公式等进一步研究了这两个数列的均值性质，推广了张文鹏教授的结果，给出了两个有趣的渐近公式。主要结果如下： 定理1 对任一实数x＞1，我们有渐近公式 ■du■（n）=■xln■x+A■xln■x+A■xln■x+ A■xlnx+A■x+Ox■ 其中A=■1-■，B，C，D是常数，■表示对所有的素数求积，d(n)是Dirichle除数函数，ε是任一给定的正数。 对数列{v(n)}，我们也可以得到类似的结论，即就是： 定理2 对任一实数x＞1，我们有渐近公式 ■dv■（n）=■xln■x+A■xln■x+A■xln■x+ A■xlnx+A■x+Ox■ 2引理及其证明 为了完成定理的证明，我们需要下面一个简单引理： 引理 对任一实数x＞1，我们有渐近公式引理1：对于任何实数x>1，我们有渐近公式 ■dn■=■xln■x+B■xln■x+B■xln■x+B■xlnx+B■x+Ox■ 这里B0，B1，B2，B3，B4是一个可计算的常数，ε表示任意给定的正数。 证明：令s=σ+it为一复数，及f（s）=■■，对于任何实数s>1，很显然，Re（s）>0时，f（s）是绝对收敛，注意到dn■?垲nε，由Euler积公式（文献［2］中定理11.7）及d（n）的定义，可得到 f（s）=■1+■+■+…+■+… =■1+■+■+…+■+… =■■1+■-1+■■ =■g（s）（1） 这里■（s）是黎曼的Zeta函数。并用■表示对所有素数P求积， g（s）=■1+■-1+■■ 根据（1）及著名的Perron’s公式[3] ■dn■=■■g（s）■ds+O■（2） 我们计算线积分，从s=■±iT到s=■±iT，被积函数为： ■g（s）■ 在4阶枝点s=1处的留数为： ■■（s-1）■■■（s）■■ =■■C■■（s-1）■■■（s）■■+ C■■（s-1）■■■（s）■■■+… +C■■（s-1）■■■（s）■■ =■xln■x+B■xln■x+B■xln■x+B■xlnx+B■x（3） 这里B■，B■，B■，B■是一个可计算的常数，ε表示任意给定的正数。因此，我们有： ■■+■+■+■■■ds =■xln■x+B■xln■x+B■xln■x+B■xlnx+B■x（4） 我们可以容易地得到估计： ■■+■■■ds?垲■（5） ■■■■ds?垲x■（6） 令T=x，结合（2）、（3）、（4）、（5）、（6）我们推断， ■dn■=■xln■x+B■xln■x+B■xln■x+B■xlnx+B■x+Ox■ 这证明了引理。 3定理的证明 我们来完成定理的证明。 对于任何的正数x?叟1，存在正整数M，使得M4?燮x<（M+1）4（7） 我们可以推断， ■du■（n）=■■du■（n）+■du■（n） =■■dt■+■dM■ =■4t■+6t■+4t+1dt■+O■dM■ =4■t■dt■+OM■（8） 令A（x）=■dm■由Abel求和公式[3]及推论可得： ■t■d（t■）=■t■dA（x）=M■A（M）-A（1）f（1）-3■t■A（t）dt+O（1） =M■■Mln■M+B■Mln■M+B■Mln■M+B■MlnM+B■M- ■■t■ln■t+B■t■ln■t+B■t■ln■t+B■t■lnt+B■t■dt+OM■ =■M■ln■M+C■M■ln■M+C■M■ln■M+C■M■lnM+ C■M■+OM■（9） 结合（8）、（9）我们有： ■du■（n）=■M■ln■M+C■M■ln■M+C■M■ln■M+C■M■lnM+ C■M■+OM■（10） A■，A■，A■，A■，A■是一个可计算的常数，注意到：0?燮x-M■?垲■及x=M■+O■，ln■x=256ln■M+Ox■，结合（8）、（9）我们有0?燮x-M■<（M+1）■-M■=4M■+6M■+4M+1?垲x■（11） 和256ln■M?燮ln■x<256ln■（M+1）<256ln■（M）+ O■<64ln■（M）+O■（12） 结合（10）、（11）、（12）我们有■du■（n）=■xln■x+ A■xln■x+A■xln■x+A■xln■x+A■x+Ox■ 于是完成了定理1的证明。利用证明定理1的方法我们也可以类似得到定理2的结论。 于是完成了定理的证明。 参考文献： [1]Smarandache F.Only problems, not solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House，1993. [2]陈宝安．关于正整数的平方部分数列[J]．西北大学学报（自然科学网络版），2003（4）；1. [3]祁兰，高丽.正整数的立方部分数列的一个性质[J].河南科学，2008，26（3）：0258-02. [4]张文鹏.关于正整数的立方部分数列[J].咸阳师范学院学报，2003，18（4）：527. [5]Zhang Jian. On the inferior and superior cube part of a positive integer function[J].Pure and Applied Mathematics, 2003, 19(3):2342236. [6]Tom M, Postol A. Introduction to analytic number theory[M]. New York: Spring2Verlag, 1976. [7]潘承洞，潘承彪.解析数论基础[M].北京：科学出版社，1991.
上一篇：运用费马小定理求解数的整除性问题
下一篇：造就完美的“唯美发明”