由《集合中元素的个数》到“莎士比亚巧合”
莎士比亚是英国著名戏剧家，其不仅才华横溢，更有一个有趣的巧合流传甚广.他生于1564年4月23日，卒于1616年4月23日，生卒日期相同.下面，我们就从这个巧合说起，谈谈组合数学中最重要原理之一的容斥原理.
例1.若按每年365天计算，且一个人生卒日期均是随机的，则他生卒日期相同的概率是多少？显然是■.试问，两个人都生卒日期相同的概率呢？两个人中至少一个人生卒日期相同的概率呢？如果是n个人呢？
《普通高中数学课程标准》数学1《集合中元素的个数》一节中，对求多个集合的元素总个数，这样解释：
对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）[card（A）表示有限集合A中元素的个数].这实质就是两个集合的容斥关系的体现.
三个集合的容斥关系公式记作：
card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（C∩A）+card（A∩B∩C）.
n个集合的容斥关系公式记作：
设Ai（i=1，2，…，n）都是有限集合，则有
由容斥原理，我们可解决求集合元素数的问题，不妨看下题：
例2.学校举办运动会时，某班共有28人参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
解：设参加游泳比赛的学生的人数为集合A，参加田径比赛的学生的人数为集合B，参加球类比赛的学生的人数为集合C.
由容斥原理A∪B∪C=（A+B+C）-（A∩B+B∩C+C∩A）+A∩B∩C
A∪B∪C=28，A+B+C=15+8+14=37，A∩B=3，A∩C=3，A∩B∩C=0
故28=37-（3+3+B∩C），同时参加田径和球类比赛的有B∩C=3（人）.
只参加游泳一项比赛的有：A-A∩B-C∩A=15-3-3=9（人）.
综上，我们不难看出，容斥原理在解决集合问题等数学问题中的重要地位，其更加深入的应用还希望在以后的教学中进一步体会.
（作者單位 山东省临清市第一中学）
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