简单实例在工程教学中的应用

摘 要:工程数学课程教学与数学一样,几乎是抽象理论与晦涩概念的结合体。学生在学习过程中充满了学什么,怎么学,学习之后又有什么用,以及在哪里能用到和怎么用的问题。在此以复变函数与积分变换课程中所遇到的问题及解决方法进行了简单小结,并进行探讨,为以后的教学做一些改进。

关键词:实例教学法;工程数学;复变函数与积分变换;教学

中图分类号:TP274 文献标识码:B

文章编号:1004-373X(2010)12-0090-03

Application of Simple Examples in Engineering Mathematics

ZHANG Wei

(Xi’an University of Arts and Science, Xi’an 710065, China)

Abstract:The engineering mathematics teaching same as mathematics teaching is almost a combination of the abstract theory and the obscure concept. In the learning process students are full of problems such as what to learn, how to learn, and where to use and how to use, etc. The experience of teaching complex variables functions and integral transformation courses, the problems encountered and the solutions adopted in the past few years are summarized. The discussion with many same occupation teachers worying in universities was performed. Improvement of the course in the future teaching is expected.

Keywords:method of example teaching; engineering mathematics; complex variable function and integral transform; teaching

0 引 言

工程数学通常包括复变函数与积分变换、线性代数、概率论与数理统计、统计推断和数学模型等内容[1-3],其理论与方法应用广泛,是很多工学专业开设的必修课。如何取得工程数学教学的最佳效果,是需要探索和实践的。

复变函数与积分变换这门课程之所以属于工程数学范畴[4],它主要是以工程背景为依托来展开讨论的,它是在研究力学、电磁学和热力学等学科时得到的,其前提就是为实际工程服务的,那么在讲解这门课程时,应与普通数学的教学方式有所区别。

1 工程数学与传统数学的区别

传统数学主要注重于对基本概念的理解和对理论的讲解,必须符合严密的逻辑推理,而不注重其实际实践环节的应用,特别是一些符合实际却不能用单纯的数学概念解释或者解决的一些问题。“工程数学”也是一门数学课[5],具有传统数学的一些特点,还会遇到一些晦涩难懂的概念、繁琐的计算和不易理解的逻辑推理。单纯就数学而言,这些东西如果不经过与实际工程相结合考虑,那么是极不容易理解的。所以工程数学既有数学的特点,又有与实际工程应用相结合才能理解的特点。因此在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理,但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况,这就给学生的学习造成了一定的困难。如单位脉冲函数(δ(t)),对于集中于一点或一瞬时的量如瞬时冲击力、点电荷、电热源、脉冲电流等,这些物理量就可以用通常的函数形式来描述。

2 运用简单实例在工程数学中进行教学中的难题

工程数学的内容抽象,概念定理多,推导计算较繁琐,但这些都是实际工程中存在的。然而,大多数学生在上大学前基本上没接触多少实际工程方面的问题,专业课又没了解多少,甚至是一片空白,进行专业课举例教学显然又不是很合适;简单的例子一时找不到,复杂一点的例子学生一时也不明白,所以举例教学也是一个慎之又慎的教学方法。

因此,对学生在进行工程数学教学前期的准备工作就显得极其重要了。一般来讲,有些大学对学生进行入学的专业教育,但是有的学校由于种种原因没进行这方面的工作,或者进行了,但是效果不是很明显。这就需要任课教师自己结合本专业实际向学生推荐一定数量的图书,这些工作应该在课程教学第一节课完成。

复变函数与积分变换是一门工程数学,在讲解时应尽量依据工程背景来展开讨论。但这门课的开课学期是大二的第一学期,这个阶段学生的知识体系并没有建立起来,专业课几乎没有涉及到,学生对自己的专业没有一个系统的认识,这就需要任课教师在进行举例时尽量的浅显易懂,以常见的实际问题为切入点把抽想问题具体化来进行讨论。

3 用简单实例在工程数学中进行教学

上述问题完成后,就可以结合一些实际例子来讲了。复变函数第一章的孤立奇点、单连域、多连域等概念比较抽象,难于理解,同学们一时不能接受,但是可以通过一个简单的例子来解决这一(系列的)问题。例如,完好的一整块布料,在加工时可以随意地裁剪,但如果布料中出现一个或几个疵点时,在加工时就不能随意地进行裁剪,就要避开这些疵点,因为有了这些疵点,布料就不能完整地被利用,即不能化整为零,这些疵点就是奇点等。奇点概念的引入为下一章解析函数的引入起到了抛砖引玉的效果。

在讲拉氏变换的延迟性时,会出现一个e-τs这样一个因子,这个因子是如何体现延迟性,延迟的结果又是什么,又是如何在实际中去应用。这个问题可以通过一个大家都熟悉的锅炉加热系统或者缓慢的化学反应来说明,级数的收敛问题可以转化为系统的稳定性来讨论等。这样的例子可以找到很多,下面通过几个实例进行说明。

实例1 复变函数与积分变换在电路分析课程中的应用[4] 。

设有图1所示的R和L串联电路,在t=0时接到直流电势E上,求电流i(t)。

图1 RL串联电路

由基尔霍夫定理知,i(t)满足方程:

Ri(t)+Ld[i(t)]dt=E,i(0)=0

这是电路基础课程中的一个典型例子,如果直接解这个微分方程有通解和特解,是比较麻烦的。拉氏变换作为一种数学工具,使有关运算得以简化,同时它也是研究实际工程问题中线性系统特性的有力工具,如果用拉氏变换解这个方程,会得到事倍功半的效果。使用拉氏变换是因为它把关于时域t的方程微分转化为复频域s的代数方程,这样简化了运算过程,减少了出错率。所以 ,由题意可知:

令I(s)=L[i(t)],在方程两边取拉氏变换得:

RI(s)+LsI(s)=E/s

求解得:

I(s)=Es(R+sL)=ER[1s-1s+(R/L)]

求拉氏逆变换得:

i(t)=ER(1-e-RLt)

实例2 复变函数与积分变换在电力电子课程中的应用[6] 。这里以单位脉冲函数δ(t)的筛选性为例来进行讲解。

设f(t)是定义在实数域R上的有界函数,且在t=0处连续,则有(若f(t)为无穷次可微的函数):∫+∞-∞δ(t)f(t)dt=f(0)或∫+∞-∞δ(t-t0)f(t)dt=f(t0)。

该性质的物理意义是:δ函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。如果单纯地讲这个性质,讲完之后学生并没有深刻的影响,也不知道这个性质与后续的专业课有什么样的联系,但如果加入下面的一个实例,就可加深学生对这个性质的理解。下面通过电路图2和图3来说明。

图2 三相桥式全控整流电路原理图

图3 晶闸管的触发脉冲

图2为三相桥式全控整流电路原理图。在一个周期内,3组桥臂是依次轮流导通的,但是晶闸管导通的前提条件是必须要有触发脉冲,如果在一个周期内触发脉冲一直工作就会造成资源的浪费。为了节约资源,根据晶闸管导通的顺序,就可以在一个周期内(0~360°)的特定时刻给每个管子加一个触发信号,如选出图3中一个周期的t1,t2,t3,t4,t5,t6六个时刻,分别给VT1~VT6六个晶闸管加触发脉冲,而其余时刻并不需要触发信号。这就节约了许多资源,而且使脉冲函数筛选性的物理意义(即δ函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义)得到了很好地体现,加深了学生对性质的理解能力,也为这门课以后的讲解做了必要的铺垫。

实例3 用工程实例推导傅里叶级数[7-9]。

图4为实际工程中常用的方波信号,但是怎么准确地表达这个方波信号呢。大家知道,正弦波信号是一种常见的规则信号,它有精确的数学模型可以描述,也是许多其他信号合成的基础。但是工程中经常会用到一些其他信号波,如方波、三角波、锯齿波等,这些信号在实际应用中很重要,却没有精确的数学模型可以表述,需要用已有的正弦波进行合成。现在就以方波信号的合成为例,来讲述傅里叶级数的推导过程。

图4 方波信号

图4中的函数f(t)为一任意的方波函数,经过坐标平移后,得到图5的方波信号,其中的a0/2为修正值),这个方波就可以用正弦波去逼近。为了使大家看到这样一个现象,可借助多媒体辅助教学,把用Matlab仿真的结果展现出来。

图5 经过坐标的方波信号

为了分析方便,对坐标轴进行了时/频转换,图6~图9为仿真结果。

从图6可以看出,随着逼近个数的增加,正弦波与方波的面积越来越接近。所以方波可以用相应频率的基波及奇次谐波去合成。

即:

f(t)=sin t+13sin 3t+15sin 5t+…+

1(2k-1)sin(2k-1)+…

经过化简总可以表示为下式的形式:

f(t)=a02+∑∞n=1cnsin(ωnt+φn)

式中:ωn=nω0。

∴f(t)=a02+∑∞n=1(cnsin ωntcos φn+cncos ωntsin φn)

令:cncos φn=bn,cnsin φn=an

则:f(t)=a02+∑∞n=1(ancos ωnt+bnsin ωnt)

式中:ωn=nω0,ω0=2π/T。

图6 1个正弦波去逼近

图7 4个正弦波去逼近

图8 9个正弦波去逼近

图9 100个正弦波去逼近

在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要与随时间而变的周期函数fT(t)打交道。

由此可以看出,所有工程中使用的周期函数都可以用一系列三角函数的线性组合来逼近,这就是所谓的Fourier级数。所以,方波用三角函数的逼近结果为图9的形式。

4 结 语

结合学生的相关专业,给学生补充一些与实际紧密结合的问题,用课堂所学内容予以解决,既能提起学生学习复变函数及积分变换这门课程的兴趣,亦能使学生了解本专业方向,为以后专业课的学习打下良好的数学基础。

参考文献

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