大跨越导线在局部激励下微风振动的格林函数解

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摘要： 架空线路的微风振动是引起导线疲劳断股、断线的直接原因。随着线路跨距的增大，架空导线呈现出长柔性、小阻尼的结构特点，其微风振动也出现了许多刚性结构中未曾出现的新现象，如锁定区的多模态竞争、涡致波响应以及流体激励力的三维特性等，然而大跨越导线微风振动的本质机理尚不明确。为掌握大跨越架空导线的微风振动机理，建立了在局部横向简谐激励下无限长有阻尼张紧弦强迫振动的线性模型，推导了模型稳态响应的显式格林函数解，得到大跨越导线系统的简化解，讨论了阻尼比和频率比对导线系统响应的影响规律，并依据大跨越导线微风振动参数特性绘制了模型响应的时空演化特性图。研究表明，大跨越导线系统模型在局部横向简谐激励下的响应表现为向激励两端传播的空间衰减的简谐行波，行波特性与激励参数k和系统阻尼比ξ关系密切。

关键词： 大跨越导线; 微风振动; 局部激励; 格林函数解; 行波

中图分类号： TM752+.5; O321  文献标志码： A  文章编号： 1004-4523（2019）05-0822-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.010

引 言

大跨越线路作为远距离特高压输电线路中的“咽喉”工程，常年暴露在自然环境中，在风载荷的激励下时刻处于振动状态。由于导线的轴向尺度远大于横向尺度，具有大柔性、小阻尼、单向刚度等特点，极易在风流体诱发下产生自激振动。尤其是低速（0.5-10 m/s）层流风，极易诱发导线发生高频低幅、持续时间长的微风振动[1]。相比于普通线路，大跨越线路具有档距大、悬挂点高、弧垂大、所处地形开阔等特点，发生微风振动的概率和持续时间均有所增大[2]。长时间的高频微风振动使得导线出现上下弯曲的振动波，循环交变的动弯应力势必引起导线疲劳断股、断线和防振金具的破损失效[3]，且大跨越线路地形特殊（如跨海、跨江等），导线疲劳失效后维护、修复困难，社会影响大，一直是微风振动研究和防治的重点。

微风振动的本质是涡激振动，当风以稳定速度u吹向导线时，由于流体黏性的存在使其在绕流过程中发生边界层的分离，进而在导线背风侧周期性地脱落出旋转方向相反、排列成有规则的双列漩涡。漩涡的周期性产生和脱落诱发导线产生上下交替的压力差，这一交替出现的风压力（升力）激发导线发生横向振荡现象。由于风速的变化，漩涡脱落频率（ffluid=Stud）会随之改变，当某一风速下的涡脱频率ffluid接近导线某阶固有频率fn时，导线的振动特性发生锁定或称同步效应，此时导线结构的振动频率在一定风速范围内不再变化，形成稳定持续的振动现象。由于导线的自振频率均匀密集分布，只要稳定风速吹向导线，谐振便会持续发生。

国内外对导线微风振动的防治和预测模型研究主要集中在能量平衡法[4-5]和动力学分析法[6-7]，所提模型均基于驻波振动假设，模型建立和求解中的重要参数多来自短圆柱（刚性圆柱，长径比<102）的涡激振动实验，局限性不言而喻。大跨越线路中，单档导线的长径比（导线单档长度与直径之比）能达到104-105，甚至更大，随着实验技术和实验条件的提高，一些大尺度涡激振动实验和数值模拟研究发现，当导线的长径比接近103，会出现短圆柱结构中未曾见到的新现象。

大长径比结构固有频率间隔较小，随着流速的增加，主导模态不断发生阶跃[8-9]，因而结构的振动响应会表现为多模态相互竞争的响应特性。Vandiver等[10]利用多年实测数据对大长径比结构的多模态响应进行了深入研究，指出来流剪切比和激振模数是影响结构多模态响应的两个重要参数。万德成等[11]采用数值模拟的方法对比了不同长径比条件下，结构涡激振动响应从单一模态逐渐转变为多模态。Bourguet等[12]采用直接数值模拟方法，发现大长径比结构多频响应中包含局部瞬时的单频响应，并指出这种局部单频响应由局部锁定造成。Trim等[13]通过实验研究指出大长径比结构的多模态响应频带由流速控制：低流速下为窄带响应;高流速下为宽带多模态响应。

大长径比结构涡激振动行为表现为行波响应主导而非驻波响应。Vandiver等[14]对于大长径比结构在水流中的涡激振动波响应的预测参数进行了深入分析，从不同角度提出两种形式的无量纲参数用于预测系统的波响应。Zhang等[15]通过无量纲分析和数值模拟方法提出了控制长柔结构涡激振动波响应的临界参数，并分析了参数的物理意义。Marcollo等[16]在全尺度涡激振动实验测试中首次观察到行波主导的涡激振动现象，并提出一種识别行波和驻波响应的新方法。康凌等[17]通过实验方法，探讨了大长径比圆柱体在均匀来流作用下的行波振动特性，分析了流速和张力对行波比的影响规律。Facchinetti等[18]采用唯象模型结合实验手段讨论了大长径比索的涡致行波现象，并指出了行波传播中参数的确定原则：传播频率受流体参数影响;波数由结构参数主导。

与刚性短圆柱（长径比<102）相比，大长径比结构发生涡激振动时，流场尾流区涡的脱落沿结构展向呈现多种涡结构模式尾涡动力特性在结构不同截面处、在近尾流和远尾流区均体现出明显的三维特征[19-20]。

上述研究多为水流作用下大长径比圆柱结构的涡激振动现象。而针对长柔架空导线微风振动的深入研究较为缺乏，尤其是理论研究方面。由于对流体激励的三维特性并不清楚，难以准确描述流体激励力f（x，t），使得现存模型仅能描述涡激振动的部分现象，针对导线微风振动开展的模型也只能在一定程度上反映导线的振动特性。

大跨越导线单档档距达上千米，同时表现出较大的弧垂，风激励在空间的分布必然是不均匀的，一方面表现在风速沿空间高度方向的梯度分布，另一方面实际作用在导线展向各部分的风激励大小难以一致，正如上文所述，即使整档导线的来流风速完全一致，其尾流特性也表现出显著的三维特性，也就是说来流均匀的风速下展向各部分受到的风载荷（尾流涡脱引起的升力）尚且难以保持一致。如何描述整档导线在不同风激励下的整体影响，以及导线各处在风激励作用下的响应特性，是研究大跨越导线微风振动动态特性的一个重要课题。为解决这一问题，本文旨在从导线局部风激励下的响应特性出发，采用叠加分析思想开展大跨越导线微风振动的三维动力特性的研究。

大跨越导线的长径比较大，当导线中部受到横向激励时，便会在导线内产生局部振动的横波，该横波将沿导线向两端传播，由于阻尼的作用，传播的横波将要衰减，如果阻尼足够大或导线足够长，该横波在到达导线档距端部之前就会衰减殆尽，因而可将大跨越导线简化为理想无限长模型。文献[18]在研究海洋锚索的涡激振动时也采用了类似的分析模型。为解决局部激励下的结构响应，本文计算无限长导线模型在局部简谐激励下导线展向上的强迫响应特性，即局部激励下系统振动的格林函数解。利用积分变换法结合留数定理求解无限长有阻尼张紧弦模型在局部简谐激励下的显式解析解。讨论激励频率比和系统阻尼比对导线系统响应幅值的影响规律，绘制大跨越导线在局部简谐风激励下微风振动的行波响应时空演化图。此工作为大跨越导线微风振动机理研究的重要基础。

1 模型的建立与求解

根据上述分析，将大跨越架空导线简化为无限长有阻尼柔性张紧弦模型。假设大跨越导线直径d;单位长度质量m;线性阻尼系数c;导线两端受到恒定轴向张力T（考虑微振动，可认为弦内张力保持不变）;导线模型在远离两端固定位置处受到局部风载荷激励形成能量输入;激励长度相对整档导线长度而言，可认为是点激励;导线激励模型如图1所示。

2.2 行波特性分析

由式（19）可知，导线的振幅响应与激励参数k和ω关系密切，同时受到系统阻尼比ξ的影响。振幅A为1/（2k），由于阻尼的存在，响应幅值沿波的传播方向按指数规律衰减，衰减因子e-kξx，衰减系数kξ，行波的传播速度（相速度）v=ω/k，相位沿传输方向按线性规律变化。正弦项中的负号表示沿x轴的正向传播（k>0）。从相邻时刻t1和t1+Δt进行考察，可以发现波形随时间的增长而向导线的终端移动，如图4所示。

正如图4所示，当激励参数k和系统阻尼比ξ固定，在激励初始时刻，位置为x=c处的波形为sin（-kc），而任意t时刻位置为x=c+ωkt处的波形也为sin（-kc）。这表明当观察者以速度v=ωk沿x轴的正方向运动中随时可以看到相同形状的波;或者说波和观察者一樣以速度v=ωk沿x轴的正向运行。将频率比k的定义带入可知，行波的传播速度v=Tm完全取决于导线的系统参数，导线型号确定后，系统张力的大小直接影响行波的传播速度，张力越大，传播速度越快。

显然，式（19）表示沿x轴正方向传播的衰减行波。可想而知，在x<0时，振幅响应同样为沿x轴负向运动的衰减行波。因而大跨越导线系统在局部单位简谐激励作用下的稳态空间响应是以激励点为源，向x轴正向和负向不断衰减的行波。

2.3 响应特性分析

导线的振幅响应是衡量导线微风振动特性的重要指标，它关系着导线系统的变形、强度以及运行状态。由式（19）知，系统响应主要受风激励参数（频率比k）和系统阻尼参数 （ξ）的影响。故分别对结构参数和风激励参数对振幅响应的影响规律进行分析。

2.3.1 阻尼对时域响应的影响

由图6可知，初始时刻激励源两侧的行波沿着x轴向模型端部逐渐衰减，系统阻尼比越大，衰减越快，传播的距离越短。

2.3.3 频率比对响应幅值的影响

工程中最关心的往往是导线系统发生振动时的最大振幅，由式（19）知，系统响应幅值A≈12k，任意时刻导线系统的响应幅值主要取决于激励频率比k，换句话说，频率比不仅决定了行波在空间的衰减速度，还是系统响应幅值的决定性因素。从式（21）也可看出，实际幅值A≈12k1+ξ2还受到阻尼的影响，由于阻尼的存在，实际振幅略小于理论振幅。

不难理解，当激励频率与系统某阶固有频率接近或相等时，即为共振区。此时k≈1，单位脉冲激励下的结构共振响应表现为激励点处同时形成向正向和负向传播的空间波，即A+max≈0.5，A-max≈0.5。故而，当激励频率与系统频率接近时，系统响应最大，即为共振响应或锁定响应。

3 算例分析

根据文献中大跨越导线阻尼比的选取经验，选取导线系统阻尼比ξ=0.01。假设导线局部受到均匀风载荷，风速u=1 m/s，导线直径d=40 mm，计算雷诺数Re=du/υ=2700（υ为空气运动黏度，取14.8×10-6 m/s2），则理论上风载荷施加在导线上的激励频率为计算涡脱频率ffluid=St（u/d）=5 Hz（St为斯特劳哈系数，取200），对应角频率ω=2πffluid≈30，若激励频率比为0.5，即k=0.5，以x正方向为例，导线系统在局部单位简谐风激励下的时空响应演化如图7和8所示。

图7和8为控制方程（1）经过理论计算得到的导线（x>0）系统横向位移y（x，t）的三维空间网格图和时空演化等值线图。图中激励频率由风载荷绕流导线流过时形成的斯特劳哈频率控制，为单一频率，因而行波运动具有稳定的相速度，这里v=wk=60。图中所示响应明显表现为空间衰减的行波特性，图8中的箭头表示行波的峰值在时空中的运动方式。

4 结 论

为掌握大跨越架空导线在不均匀风激励下的微风振动特性，本文着重考虑了大跨越导线的长柔小阻尼特性，建立了无限长有阻尼张紧弦模型在局部横向简谐激励下的强迫振动模型，利用傅里叶积分变换结合留数定理推导出模型稳态振幅响应的显式解析解，主要研究结论如下：

1）无限长有阻尼张紧弦模型在局部横向简谐激励下的位移响应解析解（即模型的格林函数解）y（x，t）=ieiγ1|x|e-iωt2γ1 （γ1为方程的一个特征根）;

2）针对大跨越架空导线的小阻尼特征，得出了上述格林函数解的小阻尼简化形式。与精确解的曲线对比表明该简化解完全能够反映大跨越导线在局部激励下的行波衰减特性。

3）大跨越导线系统在局部简谐激励下的稳态响应空域表现为以激励为源点，沿x轴正向和负向传播的衰减行波，时域表现为与激励同频的简谐振动，而行波特性与参数k和ξ密切相关。其中，行波的最大振幅主要受激励参数频率比k影响，当激励频率与系统固有频率一致时，振幅最大，并以kξ乘积的指数形式在空间衰减;此外，阻尼参数ξ使得响应在时域上出现一定的滞后以及响应幅值的减小，然而在小阻尼系统中，这一影响可忽略不计。

4）根据导线微风振动的工程实例参数，绘制了模型简化解的行波时空演化图，图中可清晰观察到响应的行波特性和空间的衰减特性，计算结果为大跨越导线微风振动机理研究提供了重要基础。

参考文献：

[1] Rawlins C B. The long span problem in the analysis of conductor vibration damping[C]. Power Engineering Society Summer Meeting. IEEE， Chicago， IL， USA，2002：770-825.

[2] 孔德怡， 李 黎， 龙晓鸿，等. 输电线微风振动疲劳寿命影响因素分析[J]. 武汉理工大学学报， 2010，32（10）：53-57.

Kong Deyi， Li Li， Long Xiaohong， et al. Parametric investigation on fatigue life of transmission line subjected to aeolian vibration[J]. Journal of Wuhan University of Technology， 2010，32（10）：53-57.

[3] 侯景鹏， 吴兴宏， 孙自堂. 防振锤-输电线体系微风振动的研究与进展[J]. 合肥工业大学学报（自然科学版）， 2011， 34（5）：743-747.

Hou Jingpeng，Wu Xinghong，Sun Zitang. Advances in the research on wind oscillation of vibration damper-transmission system[J]. Journal of Hefei University of Technology（Natural Science）， 2011， 34（5）：743-747.

[4] Wolf Hinko， Adum Boris， Pustai Dragan， et al. Energy balance method with using eigenfunctions in the estimation of overhead transmission line aeolian vibrations[C]. 7th International Congress of Croatian Society of Mechanics， Zadar， Croation， 2012：102.

[5] 李 黎， 葉志雄， 孔德怡. 输电线微风振动分析方法能量平衡法的改进研究[J]. 工程力学， 2009，26（S1）：176-180.

Li Li，Ye Zhixiong， Kong Deyi. Improvement of energy balance method and analysis of aeolian vibration on UHV transmission lines[J]. Engineering Mechanics， 2009，26（S1）：176-180.

[6] Mathelin L， De Langree. Vortex-induced vibrations and waves under shear flow with a wake oscillator model[J]. European Journal of Mechanics B/Fluids， 2005， 24：478-490.

[7] Ge F， Long X， Wang L， et al. Flow-induced vibrations of long circular cylinders modeled by coupled nonlinear oscillators[J]. Science in China， 2009，52（7）：1086-1093.

[8] Wu X， Ge F， Hong Y. A review of recent studies on vortex-induced vibrations of long slender cylinders[J]. Journal of Fluids & Structures， 2012， 28（1）：292-308.

[9] 蔡 杰， 尤云祥， 李 巍，等. 均匀来流中大长径比深海立管涡激振动特性[J]. 水动力学研究与进展（A辑）， 2010， 25（1）：50-58.

Cai jie，You Yunxiang，Li Wei， et al.The VIV characteristics of deep-sea risers with high aspect ratio in a uniform current profile[J].Chinese Journal of Hydrodynamics， 2010， 25（1）：50-58.

[10] Vandiver J K， Allen D， Li L. The occurrence of lock-in under highly sheared conditions [J]. Journal of Fluids & Structures， 1996， 10（5）：555-561.

[11] 万德成， 端木玉. 深海细长柔性立管涡激振动数值分析方法研究进展[J]. 力学季刊， 2017，（2）：179-196.

Wan Decheng， Duan Muyu. A recent review of numerical studies on vortex-induced vibrations of long slender flexible risers in deep sea[J].Chinese Quarterly of Mechanics， 2017，（2）：179-196.

[12] Bourguet R， Karniadakis G E， Triantafyllou M S. Multi-frequency vortex-induced vibrations of a long tensioned beam in linear and exponential shear flows[J]. Journal of Fluids & Structures， 2013， 41（8）：33-42.

[13]  Trim A D， Braaten H， Lie H， et al. Experimental investigation of vortex-induced vibration of long marine risers[J]. Journal of Fluids & Structures， 2005， 21（3）：335-361.

[14] Vandiver J K， Jaiswal V， Jhingran V. Insights on vortex-induced traveling waves on long risers[J]. Journal of Fluids & Structures， 2009， 25（4）：641-653.

[15] Zhang L， Chen W， Zheng Z. Controlling parameter for wave types of long flexible cable undergoing vortex-induced vibration[J]. Procedia Engineering， 2010， 4：161-170.

[16] Marcollo H， Eassom A， Fontaine E， et al. Traveling wave response in full-scale drilling riser VIV measurements[C]. ASME 2011， International Conference on Ocean， Offshore and Arctic Engineering，Rollerdam，The Netherlands， 2011：523-537.

[17] 康 凌， 葛 斐， 武晓东，等. 大长径比结构涡激振动响应中的行波特性研究[C]. 中国力学大会，中国西安，2013.

Kang Ling，Ge Fei，Wu Xiaodong，et al. Research on VIV response wave of long flexible structures[C] .CSTAM.2013-A31-1402，Xi′an， China，2013.

[18] Facchinetti M L， Langre E D， Biolley F. Vortex-induced travelling waves along a cable[J]. European Journal of Mechanics， 2004， 23（1）：199-208.

[19] 王成官， 王嘉松， 田中旭，等. 海洋隔水管渦激振动的三维数值模拟研究[J]. 水动力学研究与进展， 2011， 26（4）：437-443.

Wang Chengguan，Wang Jiasong，Tian Zhongxu，et al.Three dimensional numerical simulation of VIV on marine riser[J].Chinese Journal of Hydrodynamics， 2011， 26（4）：437-443.

[20]  李非凡， 及春宁， 许 栋，等. 细长柔性立管涡激振动的数值模拟研究[J]. 工程力学， 2017， 34（4）：221-230.

Li Feifan， Ji Chunning， Xu Dong，et al. Numerical investigation on the vortex-induced vibration of a flexible slender riser[J].Engineering Mechanics， 2017， 34（4）：221-230.

Abstract： The aeolian vibration of long span overhead transmission lines is the direct cause of fatigue breakage of lines and strands. With the increasing of line span， the overhead conductors are characterized by large flexibility and small damping， which can cause new phenomena such as vortex-induced wave response， multi-modal competition in locked region， 3D characteristics of fluid excitation. In order to understand the mechanism of vortex-induced vibration （VIV） of long span overhead conductors， a linear model of the forced vibration of infinitely long damped tensioned strings under single-point harmonic excitation is established， and the corresponding explicit Green′s function solution of steady state response is derived. The influence of damping ratio and frequency ratio on the long span conductor system is discussed based on the simplified solution， and the space-time evolution of the model on aeolian vibration is plotted. The results show that the response of the long span overhead transmission lines under single-point transverse harmonic excitation is a decaying harmonic travelling wave propagating to both ends of the line， which is closely related to the excitation parameter k and the system damping ratio ξ.

Key words： long-span overhead conductors; aeolian vibration; local excitation; Green′s function solution; travelling wave

作者简介： 陈晓娟（1982-），女，讲师。电话：（0312）7525044;E-mail： cxj2008@imust.cn

通讯作者： 王璋奇（1964-），男，教授。电话：（0312）7525039;E-mail： wangzq2093@163.com

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