谈小学数学运算定律的教学
作者简介:
小学特高级教师,江西省特级教师, 江西省现代教育技术培训专
家委员会成员,有20余篇文章在各级各类刊物上发表。
《数学课程标准》(2011年版)指出:“课程内容要反映社会的需
要、数学的特点,要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果
,也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”就运算定
律教学而言,只有在分析其知识结构和思想方法的基础上,寻找出
核心的价值内容,才能真正对学生展开良好的数学教育。
一、知识结构与思想方法
下面分两个方面来探讨运算定律教学的核心价值内容。
1. 知识结构。北师大版教材在运算定律教学内容的编排体现了“
前有隐伏、中有突破、后有发展”的特点,在深度与广度上不同阶
段有明显的不同要求,这符合学生的认知规律和学习特点。笔者对
其脉络梳理如下:
第一学段:结合具体内容情境逐步渗透加法交换律、结合律,乘法
交换律与结合律的思想,从三年级开始,逐步渗透乘法分配律的思
想。此时的学习,主要是在感悟和理解,并不要求总结运算的规律
。
第二学段:四年级正式系统探索整数范围内各种运算定律,学习用
字母表示运算定律,并能够运用运算定律进行简便计算,之后随着
教学内容的不断拓展,将运算定律延伸到分数和小数的运算范围。
其实,随着数概念范围的进一步扩展,在实数甚至复数的加法和乘
法中,它们仍然成立。
例如,下图是一年级《数学》上册第24页的内容。教材创设了停车
场的情境,由笑笑与淘气站在不同的角度观察有几辆车,让学生直
观认识到“2+3=3+2”,体会到两个加数交换位置,和不变。从而
感悟“加法交换律”的思想。教材还总结并呈现出了表示恒等关系
的式子,这也是关系性思维在低年级的初次渗透。
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学生有了这样的认识,计算时便更灵活。例如:想1+4等于几时,
可以交换位置来想4+1=5。基于学生的年龄特点,该课教学并不要
求学生用规范的数学语言说出运算定律的本质,只要他们理解并能
正确运用即可。
同样,在二年级《数学》上册第6页的情境画面这个教材内容里,
也是让学生通过直观情境来感悟和理解:交换两个因数的位置,积
不变。初步渗透了乘法交换律的思想。
这样的内容在教材中不断出现,其目的是帮助学生不断积累和感悟
运算定律的思想和经验,到正式学习时便觉得似曾相识,有亲切感
。
2. 思想方法。《数学课程标准》强调:课程内容不仅包括数学的
结果,也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。数学思
想正是蕴含在数学知识形成、发展和应用过程中的,是数学知识和
方法在更高层次上的抽象与概括。学生正是在积极参与的活动过程
中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想。以加法交换律
而言,学生最初从一道具体的例子“2+3=3+2”初步感悟到“交换
两个加数的位置,和不变”的思想,并在学习的过程中不断积累这
样的经验,到推导出加法交换律并学会用字母表示“a+b=b+a”,
这一过程,学生的思维是从具体到抽象的一次飞跃。在探索与发现
运算定律的过程中,学生需要建立恒等概念和建模的思想,需要有
对数量关系的理解基础,更需要有对规律的、一般性问题的概括思
维能力和符号意识,这些都不可能一蹴而就。
我们还必须要认识到:基本运算定律是前人总结出来的运算规律,
在教学数数、计数以及运算时,运算定律的思想方法早已渗透其中
。美籍华裔数学家伍鸿熙教授指出:“各种类型的整数算法,不论
是直式、横式、长除、短除,都是有理可解、有根可寻的。其重点
则在于一些基本运算定律的演算。”也就是说,运算定律思想方法
对帮助学生理解和分析四则运算的算理是极有价值的。
例如,下图是三年级《数字》下册第26页“住新房”的情境图。基
于解决问题的需要,让学生尝试用自己的方法来计算14×12,其间
渗透了用乘法分配律的思想来分析竖式计算的算理。笔者认为,教
学中如能利用直观图演示(如下图),让学生清楚看到把14×12拆
分成14×10与14×2后,再相加的过程,就能更好地理解竖式计算
的算理,同时感悟乘法分配律的思想方法,可谓一举两得。
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二、学生学习运算定律的困难分析
学生在四年级学习运算定律,教材这样编排虽然有利于构建比较完
整的知识结构,但我个人认为,这样集中学习也容易造成知识间的
混淆。学生虽有前期初步的经验积累,但其抽象思维和符号意识还
不够健全,在理解和运用定律时仍有一定困难。
笔者曾对全校四年级417名学生在学完运算定律知识一周后测试。
第一题是请说出“76×14+24×14=(76+24)×14”这个等式运用
了什么运算定律,并用自己的方法说明等式两边为何相等(如创编
一个数学故事)。
让笔者吃惊的是,居然有131名学生不知道上式所运用的运算定律
名称,还有47人说是乘法结合律,5人说是乘法交换律。由此可见
,学生对概念混淆不清。
第二题是用简便方法计算:37×25×4; 25×41;39×99+39。 统
计结果还是不错的,3个小题全对的有329人,约占78.9%;但问题
却集中反映在第2题上,出错的有55人。以下是三种典型错误。
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上述三个错误都反映了学生对于乘法分配律中的分配环节含糊不清
,理解未透。学生一般都知道把41拆分成40与1,但在下一个分配
的环节中,却出现种种错误。错误一,将两个乘积相加的过程,写
成了将两个乘积相乘;错误二,受结合律的影响,将25去乘40与1
的积;错误三,忘记了25不仅要和40相乘,也要和1相乘之后再相
加。
学生最容易将乘法结合律与乘法分配律弄混淆,是因为它们表达形
式相似程度太大。以25×(40+3)=25×40+25×3为例,学生会认
为式子中25×40以及25×3有结合的成分,而误认为是结合律。对
概念的混淆不清,必然会导致计算中的种种错误。
更重要的是,教师对于运算定律的思想方法在各学段的逐级渗透并
不太了解,未能做到知识内容的小步子迈进,使学生在这一方面的
经验积累不够丰富。如果再在新课教学时又掐头去尾,草草总结规
律,把更多的精力放在训练学生运用定律进行简便运算上,单纯的
技能训练不仅让学生倍感无趣,而且也让这部分知识失去应有的意
义。
三、运算定律的教学建议
1. 积累经验,丰富学生的运算定律思想。义务教育《数学课程标
准》修订后,强调在注重“基础知识”和“基本技能”的同时,还
要发展数学“基本思想”,积累“基本活动经验”。而数学活动的
经验是探索新知的基础,需要在“做”的过程和“思考”的过程中
不断积累。
根据运算定律在教材中编排的特点,教师应从低年级教学中给予逐
步渗透。例如,教学计算长方形周长时,便可做有机渗透。首先呈
现长方形(图1),放手让学生自主探索长方形周长计算方法。
然后让学生交流,一般都会有以下几种方法:第一种,把4条边的
长度相加12+8+12+8;第二种,12×2+8×2;第三种,(12+8)×2
。在解释这几种方法的算理之后,教师可顺势提问:“这几种方法
之间有什么联系吗?”并用课件动态演示图1变成图2的过程,学生
直观看出这个长方形的周长相当于两个(12+8)的和,从而明确这
两个式子所求的都是长方形四条边长度之和,可以用等号连接,即
(12+8)×2=12×2+8×2。
在探索长方形周长计算公式的过程中,对于学生理解和运用乘法分
配律的思想方法是非常有价值的,其实就是学习乘法分配律的一次
经验积累。
2. 创设情境,基于现实背景建构模型。为了帮助学生探索发现运
算定律的规律,建构运算定律的数学模型,应创设良好的数学情境
,引导学生借助现实背景和已有知识经验,建构运算定律的模型。
现以乘法分配律的教学为例。首先呈现 “贴瓷砖”情境图(如上
图),并由此展开探索与发现的活动。接下来,让学生交流对瓷砖
块数的计算方法并予以解释,然后借助课件理解两种不同的计算算
理,沟通不同方法之间的内在联系,找出它们之间的相等关系。
最后引发学生思考:这样的相等关系是偶然现象还是必然现象?举
几个这样的例子,根据学生的举例,从算理上证明每组式子的相等
关系,发现规律的本质特点。再引导学生用自己的语言表达规律,
并尝试用字母符号表示规律,感悟用符号表示的简洁性。
教师还可以相机告诉学生,其实乘法分配律我们早就在乘法计算时
使用过了。呈现下图,解释每一步的思考过程以及它运用到的规律
。说明如果把竖式的过程写成横式,可以表示为:
此时,学生认识到乘法分配律是我们的老朋友了,只不过今天才揭
开神秘的面纱。这一过程突出了数学本原,也沟通了数学知识前后
之间的联系。
这样在经历了“发现问题→提出假设→举例验证→建立模型”等一
系列活动过程,学生就能主动建构运算定律的模型,为今后的学习
奠定基础。
3.灵活运用,在解决问题中形成良好意识。课标实验教材在“运算
定律”内容的编写上呈现出两个特点:一是运算定律引出基于解决
问题的背景,突出了运算定律的发生发展过程;二是减少了“运算
定律”纯技能训练的内容,突出了应用“运算定律”灵活解决问题
的内容。
还有,对于乘法“分配律”与“结合律”的辨析困难,教学中应加
强对比训练,尤其是借助问题情境帮助学生分析算理,让学生真正
理解两条运算定律不同的适用范围和不同的思路,并在运用运算定
律解决问题的过程中不断积累良好的经验。
总之,运算定律的学习是学生数学思维从具体到抽象过程中的一次
飞跃。只有读懂学生,读懂教材,读懂课堂,才能设计出更加符合
学生认知规律的教学过程,让学生在学习知识的过程中,不断丰富
数学思想方法。 (作者单位:江西省九江小学)
教学内容:课标实验教材北师大版《数学》四年级上册第48、49页
。
教学目标:1.经历提出猜想、验证规律的探索与发现过程,通过类
比、说理、举例论证,总结概括出乘法分配律并用字母表示,培养
学生的符号意识;2.沟通知识之间的内在联系,深化理解乘法分配
律,发展学生的思维能力和创造能力;3.欣赏数学运算的简洁美,
体验“乘法分配律”的价值所在,提高学习数学的兴趣和主动性。
教学过程:
一、导入
1.下面的三个算式改变了形象。猜猜看,哪个算式和原来是一样的
?
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根据学生回答连线。结合(13+9)+6与13+(9+6)、(9×25)×4
与9×(25×4)的相等关系,复习已经学过的加法结合律与乘法结
合律,
2.此时,学生可能会提出将18×4+12×4 与(18+12)×4连线。师
相机提问:这两个算式之间有关联吗?你们有什么想法?
引导学生发现:这两个算式的运算顺序不同,但结果相同,可以用
等号连接。板书:(18+12)×4 =18×4+12×4。
师:这个同学的发现很有价值,我们不妨将它命名为“××猜想”
。接下来,我们循着这个线索继续探究运算中的规律。
【设计意图】用游戏的形式导入新课生动有趣,既复习了学过的旧
知,又提出了新的猜想。学生兴趣盎然投身于探索与发现的活动中
去。
二、探究
探究一:出示下图,从图中你能得到哪些数学信息?
师:根据这些数学信息,你能提出什么数学问题?这个问题你会怎
样解答?
(学生独立解答,教师巡视。请学生上台板演。可能会有以下两种
不同解答方法:1.65×5+45×5;2.(65+45)×5。)
师:大家看方法一:65×5+45×5,谁来说明解题思路? 结合学生
的回答,教师及时用教具演示:65×5表示5件夹克衫的价钱,45×
5表示5条裤子的价钱。最后相加求出一共的价钱。
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师:那么方法二(65+45)×5中,(65+45)求出的是什么?
师:“一套衣服”什么意思?你能用图在黑板上贴出来表示一套吗
?
(学生按要求如右图摆放。)
师:看图我明白了,那为什么还要用一套服装的价钱乘5?谁能继
续贴图,表示出整个算式的意义?
(结合图和算式,继续阐明算理:可以分别算出5件夹克衫和5条裤
子的价钱再相加,也可以先求出一套衣服的价钱再乘5。)
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师:虽然这两个算式不一样,但它们都是求什么?算出的结果怎样
?在数学上我们可以用什么符号来连接?
根据学生的回答完成板书:(65+45)×5=65×5+45×5,并让学生
读一读。
师:这个规律与课始发现的规律一样。两个相等的算式之间有没有
必然联系呢?接下来,我们继续研究。
【设计意图】通过解决现实的生活问题,自然生成了不同的解题思
路和算法。学具的摆放促进了形象思维和抽象思维的互补,为学生
初步感知乘法分配律,建立了清晰的表象。
探究二:这是一块长方形菜地,在它的四周围上栅栏,要先求出它
的什么?怎样计算栅栏的长度?出示右图:
根据学生的回答板书:12×2+8×2;(12+8)×2。
师:还记得我们在三年级是如何推导长方形周长计算公式的吗?为
什么可以用(12+8)×2来计算这个周长?
学生交流后,利用课件动态演示图1变成图2。让学生直观理解图中
有两个(12+8),所以可以用(12+8)×2来计算它的周长。
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板书:(12+8)×2 =12×2+8×2
【设计意图】回忆旧知,通过公式推导过程的回放,沟通新旧知识
之间的内在联系。
探究三:对照黑板上相继板书的三个等式,提问:这些等式有什么
相同点吗?你还能再举几个这样的例子吗?
板书学生举出的例子,并结合实例从算理上证明其中的相等关系。
师:这样的例子我们说得完吗?(在算式下面标注省略号)
师:你认为这个规律在我们学过的整数范围内一定成立吗?为什么
?(引导学生从算理上说明其中蕴含的道理。)
【设计意图】通过大量举例并验证探索出来的规律是否合理,从而
发现乘法分配律在所学范围内普遍存在的现象,学生的思维也逐步
走向深刻。
探究四:请你用字母a、b、c表示这个规律,并解释。(学生思考
后交流,根据回答板书:a×(b+c)=a×b+a×c)
同时,引导学生用自己的语言表达规律:两个数的和乘同一个数,
可以用和里的每个加数分别乘这个数,再把乘得的积相加。
师:看来,刚才“××同学的猜想”是很有道理的,数学上把这个
规律叫做乘法分配律。(揭示并板书课题)
师:说说看,你怎么理解“分配”这个词语?
让学生理解:将和里的每个加数分别乘第三个数的过程,就是分配
的过程。
师:这个规律反过来成立吗?请你举例证明。
结合学生的发现,板书:a×b+a×c=a×(b+c)
师:我们在乘法计算时就使用过乘法分配律,只不过今天才揭开神
秘的面纱。
逐步出示下图,解释竖式中每一步的思考过程以及它运用到的规律
。由此,学生认识到乘法分配律在竖式计算中的重要作用。
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【设计意图】用字母表示规律培养了学生的符号意识;结合乘法竖
式分析乘法分配律的过程,突出了数学知识的本原,加深了学生的
理解和认识。
三、 运用
1.根据乘法分配律把式子填完整。
(1)(10+7) ×6=□×6+7×□
(2)8×(125+9)=□×125+□×9
(3)(□+□) ×□=3×8+8×7
2.下面的等式对吗?如果不对,怎样改才是正确的?为什么?
56×(19+28)=56×19+28( )
3.根据前面乘法算式中因数的特点,把式子补充完整,使这个算式
可以用乘法分配律计算。
(1)34×28+□×□(例如可以补充:34×72)
(2)9×37+□×□
(3)12×40+□×□
【设计意图】通过逐层递进的练习,让学生进一步在解决问题的过
程中,深刻理解乘法分配律中蕴含的数学思想。
四、小结(略)
□责任编辑孙恭伟
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