Rogowski线圈互感系数的计算方法
【摘要】Rogowski线圈应用于电子式电流互感器的传感头，根据Rogowski线圈物理模型对其互感系数进行数学分析与计算，说明影响互感系数的线圈结构因素。
【关键词】电流互感器；Rogowski线圈；互感系数；计算
1.引言
智能电网已成为世界电网的发展方向，智能变电站是智能电网建设中的一项核心内容。智能变电站采用了有别于传统的电磁型电压/电流互感器的新一代互感器，统称为非常规互感器，非常规互感器是智能变电站中实施电力监测、计量及继电保护的重要电气设备，其精度及可靠性与电力系统的安全可靠运行密切相关。按是否需要向高压侧的传感头提供电源，非常规互感器分为有源非常规互感器（又称为电子式电压/电流互感器）和无源非常规互感器。电子式电流互感器主要以Rogowski线圈为代表，它可以将大电流按比例变换成模拟量电压输出或数字量输出，供电气测量仪器和继电保护装置使用。
中国电力出版社2008年1月出版的《数字化变电站应用技术》一书介绍了电子式电流互感器采用的Rogowski线圈原理。将测量导线均匀地绕在截面均匀的非磁性材料的框架上，就构成了Rogiwski线圈。书中对图1所示的Rogowski线圈结构示意图，作了如下描述：“当被测电流从线圈中心通过时，在线圈两端将会产生一个感应电压，若线圈匝数密度n及线圈截面积s均匀时，则线圈感应电压大小为：
（1）
式中，为真空磁导率。”[1]
图1中，Rogowski线圈的截面为圆形，r为线圈截面的半径，为导线中心至线圈截面圆心的距离。
根据电磁感应定律，感应电动势：
可知空心线圈的感应信号与被测电流的微分成正比，经积分变换等信号处理便可获知被测电流的大小。
本文根据Rogowski线圈的物理模型，对互感系数M的计算公式进行了数学推导。
本文所列公式中各种物理量在国际制中的单位如表1所示。
2.Rogowski线圈感应电压的原理
根据电磁学基本理论，对图1中线圈输出感应信号e，即线圈感应电动势信号有如下分析：
由于运动电荷（电流）的周围空间存在着磁场，在磁场中，磁场强度矢量H沿任一闭合路径的线积分等于穿过该闭合路径的限定面积中流过电流的代数和，其数学表达式为：
选取图2中所示的xOy平面坐标系，坐标原点在Rogowski线圈截面的圆心，可得：
即距离载流导线中心距离为x处的磁场强度为：
磁场的两个基本物理量磁通密度B和磁场强度H之间存在着下列关系：
非铁磁材料的磁导率可认为等于真空磁导率，。
故线圈中的磁感应强度：
穿过线圈截面积的磁通量为：
其中：
得出：
（2）
穿过线圈的磁通形成磁链，设线圈有N匝，通过电流后产生匝链线圈的磁通为，则磁链为。
当线圈中的磁链发生变化时，线圈中将有感应电动势产生。感应电动势的数值与线圈所匝链的磁链的变化率成正比。感应电动势的方向，将倾向于产生一电流，如电流能流通，该电流的磁化作用将阻止线圈的磁链发生变化，即线圈中的感应电动势将倾向于阻止线圈中磁链的变化。若电动势、电流和磁通的正方向取得一致，即电流的正方向与磁通的正方向符合右手螺旋定则，正电动势倾向于产生正电流，则电磁感应定律用数学式表示时为：
将（2）式代入上式，得：
（3）
3.求解Rogowski线圈线圈的感应电动势e
3.1 对（3）式中的定积分求解步骤
步骤1，先讨论不定积分，将其变换为三角函数有理式的积分；
步骤2，对三角函数有理式的积分采用万能变换，化为有理函数的积分；
步骤3，对有理函数进行部分分式展开 ，将其化为几个真分式之和；
步骤4，对每个真分式进行积分，得出的计算结果；
步骤5，根据无穷限反常积分，计算出定积分；
步骤6，将计算结果代入（3）式，得出感应电动势e的和互感系数M的计算公式。
3.2 求解过程
步骤1：设，，由的积分区间为，得的积分区间为，在此区间上，故，可得：
（4）
步骤2：讨论积分
对于三角函数有理式的积分，可以采用万能变换进行推导计算。
令，则，，，，代入被积表达式，原积分可化为有理函数的积分。据此：
（5）
步骤3：对于（5）式的积分，作以下分析：
任一既约真分式（分子与分母没有公因子，分子次数低于分母次数）都可惟一地分解成形如：
（）
或： （，）
的基本真分式之和，其运算称为部分分式展开。
这两种形式的部分分式都是可用第一换元积分法积分的。
第一换元积分法的计算方法如下：
设，函数可导，则：
本文积分需要应用的部分分式展开方法依据如下
设
则：
据此，将（5）式化为：
由上式可解得：
即：
步骤4：对上式进行积分运算，令，求出：
，其中，
则（5）式积分结果为：
（6）
步骤5：讨论定积分 （7）
根据无穷限的反常积分的定义，设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作：
这时也称反常积分收敛。对这样的反常积分，在另加换元函数单调的假定下，可以像定积分一样作换元。于是，在（7）式中令，得：
（8）
根据反常积分的计算方法，若在上，则当存在时，。
结合（6）式对（8）式进行定积分运算得出：
（9）
将（9）代入（7）式，得：
（10）
步骤6：将（10）代入（3）式，得：
（11）
令：
式可记为：
M为图1所示的Rogowski线圈模型的互感系数。
4.结论
根据电磁学基本理论，对图1的Rogowski线圈模型进行分析和计算，得到了互感系数M计算公式。从中能够得出如下结论：
1）Rogowski线圈中的输出感应电动势e与互感系数M成正比。
2）由（10）式得出，互感系数M取决于线圈截面半径r、线圈截面中心到载流导线中心距离和线圈匝数n。
M与线圈匝数n成正比，在线圈结构条件许可的情况下，可尽可能的取大值。
和r由线圈的结构决定，当一定时，M随着r的增大而增大。
参考文献
[1]高翔.数字化变电站应用技术[M].北京：中国电力出版社，2008：38.
[2]胡虔生，胡敏强.电机学（第二版）[M].北京：中国电力出版社，2009.
[3]冯慈璋.电磁场（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983.
[4]于歆杰，朱桂萍，路文娟.电路原理[M].北京：清华大学出版社，2007.
[5]陈仲.高等数学竞赛题解析教程（2012）[M].南京：东南大学出版社，2012.
[6]高等数学编写组.数学手册[K].北京：高等教育出版社，1979.
[7]邹积岩，段雄英，张铁.罗柯夫斯基线圈测量电流的仿真计算及实验研究[J].电工技术学报，2001，16（1）：81-84.
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