Morlet复小波变换的开关电流电路共极点实现

摘 要： 提出了一种时频域混合共极点逼近的开关电流电路Morlet复小波变换方法.将Morlet复小波构成部件高斯包络进行分解，设计了高斯包络时域逼近优化模型，模型可采用常规优化算法求解.利用正弦和余弦信号的周期性，及其与指数信号的乘积在频率域具有相同极点的特性，简化了Morlet复小波函数的拉普拉斯变换，实现了实部和虚部的共极点有理逼近.基于双线性变换积分器设计了一种开关电流复二阶节基本电路，继而综合了Morlet复小波变换基本电路.通过调节基本电路的开关时钟频率可实现其它不同尺度的小波变换功能.对比分析表明，本文方法的逼近效果和系统稳定性均明显优于现有的Padé变换法和Maclaurin级数法；与现有方法相比，本文设计的复小波变换电路具有结构简单、功耗低和体积小等优点.仿真结果表明了方法的有效性.

关键词： 开关电流电路； Morlet复小波；小波变换；带通滤波器；逼近算法

中图分类号：TN713 文献标识码：A

小波变换是分析非平稳信号强有力的工具，已有广泛的工程应用[1-2].小波变换通常采用数字方式实现，但其运算量大，且需要进行模数转换，不适合功耗要求严格的应用场合.近年来，为满足实时性和低功耗场合的要求，人们开始致力于小波变换模拟电路实现的研究[3-13].其中文献[3]提出了基于开关电容电路的连续小波变换方法，但开关电容是一种电压模技术，需要线性浮置电容，与标准数字CMOS工艺不兼容.为克服开关电容的缺陷，开关电流技术[14-15]应运而生.开关电流是一种新型的模拟电流数据采样技术，具有高速度、低电压、低功耗的优点.文献[4-5]最早提出开关电流电路实现小波变换的理论与方法.开关电流小波变换电路有两种主流的设计方法，一种是频域设计法，另一种是时域设计法，均包括两个关键的步骤，一是小波函数（或构成部件）的有理逼近，即用一个频域有理滤波器函数代替难以电路实现的小波函数；二是小波滤波器电路设计.对于频域设计法，这两个步骤都在频率域进行.例如文献[5]和[10]分别采用Padé逼近法和Maclaurin级数法进行小波函数的频域逼近，再针对逼近的小波滤波器传递函数进行电路设计.小波函数逼近实质上寻找一个冲激响应与待逼近小波函数波形尽可能相似的滤波器.Padé逼近法基本思想是先采用泰勒级数将小波复频域函数展开成多项式形式，再根据逼近有理式的阶数要求保留适量的低阶项，舍弃其它高阶项，从而获得小波复频域函数的近似多项式，最后采用Padé变换将这个近似多项式转化为有理式，从而获得逼近的小波滤波器传递函数.与Padé逼近法不同的是，Maclaurin级数法利用了信号时频变换的时移特性，分别针对小波函数的分子和分母进行泰勒级数展开，方法更为简单.频域设计法之外，另一种是时域设计法，即基于小波函数的时域特点进行小波变换电路设计，方法直接明了，但电路较为复杂.例如文献[12]提出了Morlet实小波变换的开关电流电路模拟实现方法，采用Padé法在频域进行高斯包络的有理逼近，再基于Morlet小波时域结构和特点进行电路设计，需要用到正弦信号发生器、乘法器、高斯函数发生器和积分器等部件.综上所述，现有开关电流小波变换方法存在以下不足，一是时域设计法导致电路结构复杂，二是频域逼近效果不理想且不能自然保证电路的稳定性，三是现有方法多关注于实小波变换的实现，少有研究复小波变换的模拟实现，然而复小波变换比实小波变换能提供更多的细节信息.

针对现有方法的不足，本文提出一种时频混合共极点逼近的开关电流电路Morlet复小波变换方法.首先，基于Morlet复小波函数的特点，对高斯包络单独进行时域分解，并利用正弦信号的周期性，设计出一种时域逼近优化模型，可采用现有优化算法进行逼近优化问题求解.其后，对逼近的时域复小波进行拉普拉斯变换，获得其实部和虚部传递函数，且实部和虚部具有相同的极点.然后，设计一种单输入双输出的开关电流共极点复二阶节基本电路，继而综合Morlet复小波变换电路.最后，通过电路仿真验证方法的有效性.

1 Morlet复小波滤波器共极点逼近原理

SymboleB@ f（t）ψ*（t-ba）dt，a≠0.（1）

式中：*表示共轭，a和b分别是尺度和位移因子，均为连续变量，因此式（1）被称为连续小波变换.若a=2j（j∈Z），上述小波变换称为二进制小波变换，工程应用通常采用二进制小波变换.根据模拟滤波器理论可知，在尺度a时的小波变换可以看成是输入信号通过冲激响应为ψa（-t）的滤波器后的输出.因此，模拟小波变换可通过构造冲激响应为小波基函数及其膨胀函数的滤波器组来实现.就开关电流小波变换而言，由于不同尺度下的小波膨胀函数可通过调节基本小波滤波器的开关时钟频率来实现[15]，故采用开关电流电路实现小波变换的关键在于基本小波滤波器（尺度a=1）的设计.

Morlet复小波基（尺度a=1）时域表达式为：

ψ（t）=π-1/4ejω0te-t2/2=

π-1/4[cos （ω0t）+jsin （ω0t）]e-t2/2， ω0≥5.（2）

式中：ω0是中心频率，在ω0=5和7两种情况下，时域波形如图1所示.可见，Morlet复小波是高斯包络下的单频率复正弦函数，且对于不同的中心频率ω0，其实部和虚部的高斯包络相同.Morlet复小波时域支撑区约为-3～3.

时间（a） ω0=5

时间（b） ω0=7

根据小波变换的滤波器实现原理，应该对（2）式进行共轭和翻转操作.此外，Morlet复小波是双边信号，与滤波器电路的因果性要求不符，因此还应对（2）式进行右移处理.处理后的Morlet复小波基函数为：

（t）=ψ*（t0-t）=

π-1/4{cos [ω0（t-t0）]+jsin [ω0（t-t0）]}e-（t-t0）2/2. （3）

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