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波利亚《怎样解题》读后感

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摘 要:通过对波利亚《怎样解题》这本书的深入研读,以读后感的形式,对波利亚的“怎样解题表”进行了介绍与分析,最后也介绍了波利亚的“怎样解题表”在当今的发展情况。

关键词:怎样解题表;波利亚;研究成果;发展

乔治·波利亚(George Polya),是本世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家,他复兴了“探索法”,即数学启发法,开创了数学问题求解(Problem Solving)与合情推理的一个全新时代,他的著作已影响了全世界数以百万计的数学教育工作者。文章对波利亚最具影响力的著作之一《怎样解题》作重点介绍,并依据他的“怎样解题表”提出自己的见解和看法。

一、波利亚的生平和主要数学研究成果

1.波利亚的生平

乔治·波利亚(George Polya),1987年12月13日诞生于布达佩斯,先后在布达佩斯、维也纳、哥根廷、巴黎等地求学。1921年在布达佩斯的约特沃斯·洛轮德大学获哲学博士学位,学位论文的题目是“概率演算中的一些问题及其有关的定积分”。1914年,波利亚接受德国数学家A·胡尔维茨(Hurwitz)的邀请,到苏黎世的瑞士联邦工学院任教;1920年升为副教授;1928年任教授;1938年任数理学院院长。1940年,由于第二次世界大战,移居美国,历任布朗大学、斯坦福大学教授、美国国家科学院院士。1953年,在斯坦福大学退休。1953年至1956年,他受美国数学会之邀到过许多地区和学校讲课、视察;1963年作为大克利夫兰(Greater Cleveland)教育研究学会的顾问,参与课程内容的建议,深入调查,掌握了丰富的现实材料;1972年,波利亚参加了第2届国际数学教育会议;1980年被选为第4届国际数学教育大会荣誉主席。1985年9月7日,波利亚在加福尼亚的帕洛阿尔托(Palo Alto)病逝,享年97岁。

2.波利亚的主要数学研究成果

(1)概率论

波利亚早期的工作主要涉及几何概率方面,有人认为波利亚是第一个在论著中使用“中心极限定理”这一术语的人。波利亚还研究了概率论中的特征函数,提出所谓的“波利亚准则”。他的一个典型例子是——罐子模型(the Polya urn sche-me),而他对概率论最重要的贡献是他在1921年发表的有关随机游动的论文。他首创了术语“随机游动”(random walk)。

(2)函数论

虽然波利亚在概率方面有引人注目的成就,但他最深奥、最艰难的工作却是复变函数论,特别是全平面内没有奇点的单位函数的研究。在这领域有许多术语都是以他的名字命名的,如“波利亚峰”“波利亚表示”和“波利亚间隙定理”等。

在1957年,波利亚和舍恩伯格提出了一个有关幂级数的猜想:“能够将单位圆映入凸区域的两个幂级数的阿达马积,仍是一个具有相同性质的幂级数。”这被称为波利亚-舍恩伯格猜想,后来被德国维尔茨堡的S.路什科威(Ruscheweyh)和英国约克的T.小希尔(Sheil-small)合作证明。在1919年的论文中,他还提出了一个猜想,被称为波利亚猜想,后来被证明不成立,可他却导致了统计方法的重大进展。

(3)组合数学

波利亚给出了同分异构体的普遍适用的一般计数方法。他在这方面发现的主要定理现已被称为“波利亚计数定理”(Polya’s enumeration theorem),被写入了组合数学教材中。

(4)等周问题

在1945年统一解决了各种特征值的等周不等式以及特征值的估计问题。

(5)几何与数论

早在1913年,波利亚就证明了一个重要结论:“一条皮亚诺(Peano)曲线,它通过一个区域的每一个点至多三次。”众所周知,这样的曲线必须有至少三个重点,但波利亚证明了,这样的曲线不必须有更高重数的点。

二、解读“怎样解题表”

1.简介“怎样解题表”

《怎样解题》这本书是围绕“怎样解题表”来写的,而“怎样解题表”是由多个带有启发性的问题与五点建议构成的,对于以上问题与建议的描述类似于解决问题思维过程的“慢镜头”,能够让别人对解题的具体思维过程进一步明确。波利亚的“怎样解题表”具体步骤如下:

第一步:首先将具体问题搞清楚,即明确问题。首先了解未知数指的什么?明确已知数据与相关条件,弄清楚是否能够满足条件?如果将未知数确定了,能否得到充分的条件?或者确定条件是否是多余的、矛盾的或者是不够充分的。根据以上思维过程,用图表示出来,并将相应的符合引入进来。将各相关条件分开后,是否能够将其用语言表述出来?

第二步:将已知数与未知数的关系确定。若难以将两者的直接关系确定,那么就需要对辅助问题列入考虑范围。此时便可获得求解计划,即拟定计划。你是否曾经碰到过类似问题?你是否曾经碰到过内容类似但形式不同的问题?你是否碰到过与该问题相关的问题?你能否想起能够解答此问题的定理?再次明确未知数,并尝试回想以往碰到过的类似问题中的未知数或类似未知数。你面前有一个与此问题相关的且已经得到解题答案的问题,你能否对其充分利用起来,包括利用该问题的解题方法、解答结果?要想充分利用它,需要将哪些辅助元素引入进来?你能否将此问题进行重新复述?你能否采用其他方法将其重新复述?

将思路转回到定义上:如果无法找到方法来解决当前问题,则可以预先对类似问题进行解答。你能否想到一个相对容易解决的类似问题?比如普遍性较强的问题、相对特殊的问题、类比问题等。你能将此类问题的其中某部分进行解决吗?将问题中条件的某部分固定,将其余部分删除,能否进一步确定问题的未知数?删除后对此问题能够起到怎样的影响?你能否在问题的已知数据中得到关键的信息?你还能列出有利于进一步确定未知数的哪些数据信息?如果解题需要,你能否将问题中的未知数或数据等信息进行相应调整?或者将两者均进行相应调整,是否能够使未知数与调整后的新数据相关性更大?你是否对问题中的所有数据均充分利用起来?你是否对整个条件均利用了?你是否对此问题所涉及的所有概念均全面考虑到了?

第三步:将你的计划付诸实践,即实现计划。将你以上所有的求解计划付诸实践,并对每一步进行详细检验。你是否能够确定该步骤的正确性?你是否能够对该步骤的正确性给予相关证明?

第四步:对问题的答案进行再次验算,即回顾。你能否对自己做出的论证进行检验?你是否能够采用其他方法将问题结果导出?你能够一眼就能将其认出?你能否将此问题的结果或者解题方法转移到对其他问题的解答上?

2.对“怎样解题表”的认识

从“怎样解题表”中我们可以看出,波利亚把数学题的求解过程分为四个阶段。第一阶段,对问题产生明确的认识,明确未知数;第二阶段,了解各个项之间的联系,已知数与未知数之间的联系,并把我们的解题思路拟定成一个计划;第三阶段,将我们的计划付诸实践;第四阶段,对以上解答过程进行回顾,进行再次验算与讨论。细细想来,通常我们在实际解答问题过程中,为了获得问题的解答方法,思维中也涉及了以上某些问题,只是对解题思维没有进一步关注。而在波利亚的总结下,对我们在解答问题过程中所用的思维方式与思维过程产生强烈的应用意识。如此一来,一方面,能够进一步提升我们解答问题的能力;另一方面,还可以使我们的思维受到良好的训练,养成良好的思维习惯。

(1)明确问题

波利亚强调:“回答一个你尚未弄清楚的问题是愚蠢的,去做一件你不愿干的事情是可悲的。”因此,我们去解答一个问题之前,首先应该熟悉这个问题。如何来熟悉这个问题呢?从问题的叙述开始,观察揣摩整个问题,使其清楚而鲜明,并把问题牢记在大脑里,直到我们不再看着问题,也可以把问题重新叙述出来。而在这张表的一开始,波利亚就提出了许多问题。如:“未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?……”他教我们如何来弄清问题。

(2)拟定计划

这是“怎样解题表”的主要部分,在这一部分,波利亚主要从联想和转换两个方面教我们拟定出计划。

①联想。联想是波利亚“怎样解题表”的核心所在,它能够对人的联想行为产生启发。那么什么是联想?我们又应该怎样去联想?那就让我们再次回顾一下波利亚“怎样解题表”中的启发性问题与建议吧:“你是否曾经碰到过类似问题?你是否曾经碰到过内容类似但形式不同的问题?你是否碰到过与该问题相关的问题?你能否想起能够解答此问题的定理?再次明确未知数,并尝试回想以往碰到过的类似问题中的未知数或类似未知数。你面前有一个与此问题相关的且已经得到解题答案的问题,你能否对其充分利用起来,包括利用该问题的解题方法、解答结果?要想充分利用它,需要将哪些辅助元素引入进来?你能否将此问题进行重新复述?你能否采用其他方法将其重新复述?……”联想不仅是思维的开始,而且贯穿于整个思维过程中,只有通过由此及彼、由表及里的广泛的多层次的联想,思维才能一步步深入,最终使问题得到解决。这种有意识地引导学生去联想的方法是我们每位教师都应该学习的,只有启发和引导学生积极思维,广泛联想,由表及里、由浅入深地思考,并不断总结和改进,才能使学生在学习中获得最大的收获。

②转换。这里说的转换,就是书中所说的“变化问题”“题目变更”,这个步骤可以充分地表现出解题的过程,解题的策略和形式都尽可能地表达清晰,并合理地运用到了教学实践中。波利亚强调:“解题中的成功有赖于选择正确的方面,有赖于从好接近的一侧攻击堡垒。为了找出哪个方面是正确的方面,哪一侧是好接近的一侧,我们从各个方面、各个侧面去试验,我们变化问题。”在波利亚的“怎样解题表”中,提出促使我们进行问题转换的多个启发式问句或建议,将当前问题转化为类似问题或已经获得解题答案的问题,对相类似的问题充分考虑,首先解决普遍性较强的问题、相对特殊的问题或类比问题。以上启发性问题均涉及当前问题的转换。“如果不‘变化问题’我们几乎不能有什么进展”——这就是波利亚的结论。

(3)实现计划

这是一个比较简单的环节,它对解题者的耐心具有极高的要求。在计划的拟定阶段,首先需要列出一个相关的问题大纲,而在计划的实现阶段,则应对每一个解题细节进一步充实,并对每一个解题细节进行耐心对比、检查,直到没有其他隐藏的含糊问题为止。

(4)回顾

很多时候,我们解答完某一问题,得到论证结果后,通常不进行进一步的验证就着急写下答案。此时,我们很容易将解答问题的最后一个重要步骤忽略,也就是回顾环节。通过此环节,我们对当前问题的思维过程进行有效重复,并对问题结果进行重新考虑与验证,不但可以巩固这方面的知识,还可以提高我们的解题能力,特别是当我们的论证冗长而复杂的时候更是如此。

在“怎样解题表”中,波利亚给出了许多指引我们回顾问题的问句和建议:“你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这个结果或方法用于其他的问题?……”这些都是帮助我们回顾问题的非常好的向导。

三、“怎样解题表”的发展

近十几年来,通过不断的反思和对解题活动的深入研究,“问题解决”和“数学思维”已经取得了全新的进展,中国式的“问题解决”也逐渐形成,这些都已成为波利亚的超越。

中国的数学教学一直以来对解题训练和解题研究均非常重视。在20世纪80年代的教育教学观点中,美国的“问题解决”影响力越来越大,很多教育学者分析并利用到教学实践中。波利亚的解题方式成为教育世界中的重要指导思路,很多学者为此专门成立了教育小组和开展各种学术研讨。20世纪90年代,张奠宙教授组织了“数学教育高级研讨班”,并提出“提倡问题解决”作为促进中国教学教育改革“突破口”的设计。“怎样解题表”在我国的广泛传播,有力地推动了中国特色解题研究,并逐渐形成“中国的数学问题解决”特色。其具体表现如下:重视数学解题思路的过程性;注重数学的解题方式与研究方法;利用解题的策略性研究;应用问题、数学建模教学研究;将情景解题、开放性试题进行合理运用;提倡探究性学习,进行“问题教学”“情景教学”和“开放性教学”。

参考文献:

[1]波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京:科学出版社,1982.

[2]刘云章,赵雄辉,编.数学解题思维策略——波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社,1992.

[3]外国数学名家——波利亚[EB/OL].http:///xueshengpindao/shuxueshihua/renwujieshao/200506/521.html,2005-6-6.

[4]罗增儒,罗新兵.波利亚的怎样解题表[EB/OL].http://www2.upweb.net/peradmin/htmlfile/gzhpzxj/200412210522056385324.doc.

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