差商函数在数学分析解题中的应用
摘要:利用差商函数的连续性与可导性,得出一些与可导函数有关的结论。并利用差商函数给出了一些具体数学分析问题的解法。
关键词:差商函数 连续性 凸函数
DOI:10.3969/j.issn.1672-8289.2010.09.061
0.引言
设 是区间上的可导函数,定义,
称为在区间 上的差商函数。并且有在 上是连续,而且 ,它在解决一些数学分析问题中有非常大的作用。
1.主要结论
定理1对于函数在区间上处处可导,若导数无上下界那么对于 两点且满足
证明:因为 是无界的有都存在两点a,b使得
将函数区间[a,b]上那么
在[a,b]必可导作差商函数:
由微分中值定理可知必存在一点
则令
综合得结论成立
推论2:
若函数对于函数在区间I上处处可导,若导数有界那么对于 不是上确界或者下确界都两点 , 。且
应用1:设 在(a b)内可导(导数有穷)证明 的导函数 在(a b)内任意点不可能发生跳跃间断。
证明:设 是的不连续点, ,做差商函数,
则在(a b)内是连续的。
若 是的跳跃间断点,假设在 点处左右导数都存在但,不妨设, 因为在 处不连续对
又因为 在(a b)连续的,所以对于 ,当
由微分中值定理知。这与前面得出的结论矛盾,综合得命题成立。
应用2:设函数 , 在[a,b]内可导,且对于任意,证明: 在[a,b]最多有有限个零点。
证明:假设在[a,b]中有无穷多个零点 由致密性定理可知:此数列必存在收敛子列,不妨设其本身是收敛。即: ,而 也必为零点做差商函数:
由连续函数的归结原则可知:
所以
这与条件矛盾,命题成立。
参考文献
[1]朱弘毅; 高等数学[M].上海:上海科学技术出版社.2001.
[2]刘昌茂; 广义Cauchy中值定理[J]. 吉林大学学报, 1998,19(4):72-74.
[3]清华大学数学系<<微积分>>编写组; 微积分[M].清华大学出版社.2004.
[4]刘晓玲; 利用凸函数证明不等式的辅助函数构造[J], 高等数学研究. 2009,12(5):27-29.
[5]同济大学应用数学系编; 微积分[M].高等教育出版社.2003.
作者简介:
高建平,男, 硕士研究生, 研究方向:密码学。
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