二元函数各种极限之间的关系

一、引言

在讨论研究多元函数的有关理论和概念时，重要是研究二元函数，因为二元函数所讨论的一切结论都能相应的推广到n（n>2）元函数上去，二元函数的极限是反映函数在某一领域的重要属性的一个基本概念，它刻画了当自变量趋向于某一个定值时，函数值的变化趋势，是高等数学中一个极其重要的问题，本文就是主要讨论二元函数极限问题，重要研究二元函数各种极限之间的关系.

二、预备知识

定义1：设二元函数f（x，y）在平面点集D上有定义，（x0，y0）为D的聚点，A为常数，若？坌ε>0，？埚？啄>0使得：？坌（x，y）∈D，当0<<？啄时；或？坌（x，y）∈D，当x-x0<？啄，y-y0<？啄，且（x，y）≠（x0，y0）时，有f（x，y）-A<ε成立，则称A为f（x，y）在点，f（x0，y0）的二重极限，记为f（x，y）=A.

定义2：设Ex？奂R，Ey？奂R，x0为Ex的聚点，y0为Ey的聚点，二元函数f（x，y）在平面Ex×Ey点集上有定义，若？坌y∈Ey，极限f（x，y）=？渍（y）存在，又若极限？渍（y）=B存在，则称B为二元函数f（x，y）在点（x0，y0）先x后y的累次极限，记为f（x，y）=B.若？坌x∈Ex，极限f（x，y）=？渍（x）存在，又若极限？渍（x）=C存在，则称C为二元函数f（x，y）在点（x0，y0）先y后x的累次极限，记为f（x，y）=C.

定义3：设二元函数f（x，y）在点（x0，y0）某空心领域内有定义，取α∈[0，2π]，若极限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=Dα存在，则称Dα为f（x，y）在点（x0，y0）沿方向（cosα，sinα）的方向极限.

定义4：设二元函数f（x，y）在点（x0，y0）某空心领域内有定义，？坌α∈[0，2π]，若极限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=D存在且相等，则称D为f（x，y）在点（x0，y0）的弱二重极限.

定义5：设{Pn（xn，yn}是平面上的一个无穷点列.我们称{Pn}以点P0为极限即有Pn=P0.意思是说：？坌ε>0，？埚N>0，当n>N时，恒有Pn-P0<ε成立.我们很容易证明：Pn（xn，yn）→P0（x0，y0）当且仅当xn→x0，yn→y0（当n→∞时）.

三、二元函数各种极限之间的关系

二元函数各种极限之间的关系错综复杂，往往由一种极限的存在不能推出另一种极限存在.

1.二重极限与弱二重极限的关系

定理1：若（强）二重极限存在，则弱二重极限存在；若弱二重极限存在，则（强）二重极限不一定存在.

2.两个累次极限之间的关系

（1）一个存在不能断定另一个存在，或者两个都不存在.

（2）两个累次极限都存在，但不相等.

3.二重极限与累次极限的关系

二重极限与累次极限之间的关系是一个比较复杂的问题.

结论1：由二重极限存在，不能保证累次极限的存在；由两个累次极限的存在，即使相等，也不能保证二重极限的存在.

那么在重极限和累次极限之间是否毫无关系可寻呢？并非如此，有下面的定理：

定理2：如果函数f（x，y）在点（x0，y0）存在二重极限，设f（x，y）=A，而它的累次极限也存在，且有f（x，y）=B，则A=B，即f（x，y）=f（x，y）.

由这个定理可得两个推论：

推论1：当f（x，y）→（x0，y0）时，如果f（x，y）的重极限和它的两个累次极限都存在，那么这些极限都相等，即等式f（x，y）=f（x，y）=f（x，y）.

推论2：如果两个累次极限都存在，但不相等，那么二重极限不存在，例如，函数f（x，y）=，当（x，y）→（0，0）时，两个累次极限存在但不相等：A21=-1，A12=1，所以极限不存在.

结论2：由二重极限和两个累次极限存在，可以得出三者相等；若两个累次极限都存在，但不相等，则二重极限不存在.

4.二重极限与方向极限之间的关系

由二重极限与方向极限的定义可知，方向极限是二重极限的特殊情形，即二重极限存在方向极限必存在，但其逆并不成立.即使f（x，y）在点（x0，y0）处沿任何方向（cosα，cosβ）都有等于A的极限，也不能保证二重极限存在.

结论3：二重极限存在是方向极限存在的充分条件，但并非必要条件.而方向极限存在又是二重极限存在的必要条件，那么方向极限不存在，或沿任何两个不同方向的方向极限存在而不相等，则可得出二重极限不存在.

5.累次极限与方向极限的关系

一般的说，二者没有什么关系，特别注意，累次极限绝不是方向极限的特例，即是说f（x，y）在点（x0，y0）处沿任何方向有等于A的极限，而累次极限也可能不存在.

结论4：两个累次极限存在相等，也不能保证方向极限的存在，当二重极限，累次极限都存在，方向极限必存在，而且三者相等.

二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念，比起一元函数的极限无论从计算还是证明都具有更大的难度，尤其是二元函数各种极限之间的关系错综复杂，本文总结了两个二重极限之间的关系、两个累次极限之间的关系、二重极限与累次极限之间的关系、二重极限与数列极限之间的关系、二重极限与方向极限之间的关系、以及累次极限与方向极限之间的关系，这对于我们更深入研究二元函数具有十分重要的意义.

参考文献：

[1]黄克武.论重极限与累次极限的等价性[J].云南教育学院学报，1995（9）：20-21.

[2]许万银，岳晓红.二元函数各种极限之间关系的讨论[J].陇龙院学报，2007（17）：1-2.

[3]赵丽琴，白云芬.累次极限与二重极限的关系研究[J].石家庄学院学报，2005（7）：19-20.

[4]刘玉涟，傅沛仁.数学分析：下册[M].北京：高等教育出版社，1998：144-149.

[5]裴礼文.数学分析中的典型例题与方法[M].北京：高等教育出版社，2001：521-525.

编辑 李琴芳

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