基于分数阶理论的车辆ABS控制研究

摘 要：针对车辆制动过程中出现制动失稳问题及对控制安全、稳定性的要求，结合车辆动力学模型，提出一种基于分数阶比例积分微分理论的车辆制动防抱死分数阶PID主动控制方法，并利用Oustaloup滤波器和遗传优化算法对分数阶PID控制器进行有理化和参数整定处理，得到优化后的分数阶PID控制器，最后采用MATLAB/Simulink对车辆制动防抱死分数阶PID控制器进行了离线仿真分析。通过仿真分析表明，当车辆以20m/s的速度在路面上制动时，路面参数一定，采用遗传算法优化的分数阶PID控制相对于模糊自适应控制、传统整数阶PID控制，在制动时间上下降了2.1%和3.1%，制动距离缩短了3.86%和5.82%，其具有较低的超调量、较快的响应和较小的稳态误差。关键词：制动防抱死系统;分数阶PID;遗传算法;参数整定中图分类号：U463.4  文獻标识码：A  文章编号：1671-7988（2019）03-44-05

Research on Vehicle ABS Control Based on Fractional-order Theory

Gan Huafu， Liu Qiuyang

（School of Mechatronics and Vehicle Engineering， Chongqing JiaoTong University， Chongqing 400074）

Abstract： Aiming at the problem of brake instability during vehicle braking and the requirements for safety and stability of control， combined with vehicle dynamics model， an active control method of vehicle anti-locking fractional-order PID based on fractional proportional integral differential theory is proposed， and the Oustaloup filter is utilized. And the genetic optimization algorithm is applied to the rationalization and parameter tuning of the fractional-order PID controller. Finally， the offline simulation analysis of the vehicle anti-locking fractional-order PID controller is carried out by MATLAB/ Simulink. The simulation analysis shows that when the vehicle brakes on the road at 20m/s， the genetic algorithm optimizes the fractional-order PID control with respect to fuzzy adaptive control and traditional integer-order PID control， and the braking time decreases by 2.1%. With 3.1%， the braking distance is reduced by 3.86% and 5.82%， with lower overshoot， faster response and less steady-state error.Keywords： ABS system; fractional PID; Genetic algorithm optimization; Parameter tuningCLC NO.： U463.4  Document Code： A  Article ID： 1671-7988（2019）03-44-05

前言

车辆稳定的制动性能是汽车驾驶的重要保证^[1]。防抱死制动系统（Antilock Brake System，ABS）可有效调节制动器制动力，以适应轮胎接地所能提供的附着力，在紧急制动过程中防止车轮抱死，从而提高车辆制动稳定性并为车辆驾驶提供了良好的安全性，也是研究人员和汽车厂家研究的关键。

随着现代控制理论的推进，国内外学者都有大量研究，提出了许多控制策略，目前，车辆滑移率控制方法主要包括逻辑门限制控制、模糊控制、PID控制和滑模变结构控制，其中PID控制提出较早，算法简单，性能良好，是经典的控制策略。刘志远等人^[2]设计了一种逻辑门限控制方法，为制动系统提供制动力矩大小的调节;赵国柱等人^[3]提出了一种模糊逻辑策略，结合了低速再生防抱死策略;孙大许等^[4]基于滑移率对制动力矩变化的灵敏度优化调整PID 参数;Pan M 等^[5]提出一种滑模-PWM算法，为制动系统取得了良好的防抱死性能。而大多数控制理论是从整数阶积分理论推导出来的，而对于处理实际问题来说，分数阶微积分能更好地描述制动系统特性，能更好的控制线性或非线性系统模型，对ABS控制研究具有开拓性意义。

本文以跟随车辆制动时的最佳滑移率为目标，设计满足在一定车速下，道路参数确定，提出基于分数阶微积分理论的制动防抱死系统分数阶PID的控制策略，通过Oustaloup滤波器和遗传优化算法对分数阶PID控制器进行有理化和参数整定处理，最后采用Simulink仿真对汽车制动防抱死分数阶PID控制策略进行了离线仿真分析，结果表明分数阶PID控制器具有良好控制效果，降低了车辆的制动距离和时间，且在控制的超调量，稳定性能上都有提升，提高了车辆的安全能力，提升了车辆的稳定性。

1 被控车辆动力学建模

1.1 单轮车辆动力学建模

由于本文只考虑车辆的纵向运动问题，从而可以对复杂的车辆系统模型进行相对应的简化，采用单轮车辆模型系统进行分析，忽略空气阻力和车轮滚动阻力的影响^[6]，模型和受力分析如图1所示：

v-车轮速度;M-车辆垂直载荷;Fp-车轴对车辆的推力;N-地面对车轮的支撑力;F-纵向摩擦力;T_b制动器的制动力矩;R-轮胎半径

根据牛顿力学原理建立各个刚体的运动学方程，可得车辆动力学方程：

车辆运动方程：

车轮运动方程：

车辆纵向摩擦力：

式中，M为1/4车辆的质量，单位Kg;v为车辆行驶速度，单位m/s;F为纵向摩擦力，单位N;I为车轮的转动惯量，单位Kg.m²;ω为车轮角速度，单位rad/s;R为车轮行驶半径，单位m;T_b为制动器制动力矩，单位N.m;μ为纵向附着系数，N为地面对车轮的支持力，单位N。

1.2 滑移率的计算建模

为体现车辆在制动过程中滑动与滚动之间的比例关系，一般通过车辆滑移率来进行分析，对车轮的滑移率定义为：

式中：v_v为汽车行驶（平均）的瞬时速度;v_ω为车轮的瞬时线速度;ω为车轮旋转的角速度;R为车轮滚动半径。

1.3 轮胎模型

轮胎模型是轮胎各个分力与运动参数的函数关系式，本文采用广泛使用的线性模型，其模型的数学方程式为：

式中：μ为附着系数，λ_T为理想滑移率，μ_H为峰值附着系数，μ_G为100%所得的附着系数。

1.4 制动系统模型

制動系统包括两部分：一部分是液压传动系统;另一部分是制动器。对于实时模拟计算，可以建立经验式的一阶或二阶模型系统。由于有相应的传递延迟，可以通过简化系统，定义其传递函数为：

式中：K为系统的增益，且K=100;T为系统时间常数，T=0.01。

为仿真方便分析，通常把制动力矩T_b看作是制动压力p的线性函数：

式中：T_b为车轮的制动力矩;K为制动器制动效能因素（通过实验可以得到）;p为液压传动系统输出压力。

2 基于分数阶理论的车辆ABS控制器设计

2.1 分数阶微积分理论

分数阶微积分概念几乎与微积分同时出现，是经典整数阶微积分的扩展和延伸，主要以分数阶微积分算子为研究，其微积分阶次是任意阶的，同时也拓展了整数阶微积分的描述能力，让其更加准确的描述实际系统的特性和行为，更具有“记忆”特性，提高了系统的设计和控制能力^[7]。分数阶微积分基本操作算子_aDαt，其定义如下式所示：

式中：a和t是算子的上限和下限，α为微积分阶级次数，R（α）是α的实部。

对于_aDαt的定义在理论发展过程中出现了多种，主要包含Riemann-Liouville（简称G-L）定义和Caputo^[11]定义，其中在控制领域中采用较多的是Caputo定义，其定义表达式如下：

式中：m-1<α<m，m∈N;Г（·）为gamma函数。

为使上述定义更简单，对其进行拉普拉斯变换，更有利于分数阶微积分初值求解，根据分数阶理论对式（9）进行拉普拉斯变换为：

其中F（s）=L[f（t）]。在零初始状态下，及f（0）=0时，上式可以简写成：

2.2 车辆ABS分数阶PID控制器设计

设计分数阶PID控制器，分数阶PID控制器也可称为PI^λD^μ控制器，由I.Podlubny教授首先提出^[8]，与常规PID不同的是其引入了微分、积分阶次λ和μ，从而多了两个可调参数，能够更灵活的控制受控对象，从而得到更好的控制效果，更适用于对制动性能的分析，对整体的系统稳定性有较强的抗干扰能力。

经拉普拉斯变换，车辆ABS分数阶PI^λD^μ控制器其传递函数为：

式中s^-λ、s^μ为分数阶积分算子和微分算子。

其在时域中的控制信号u（t）可以表示为：

为让车辆实际滑移率实时跟踪理想的制动滑移率，防止车辆在制动时抱死，使汽车行驶更加稳定，在实际应用中，分数阶微积分计算常无法直接实现。分数阶PI^λD^μ控制器在控制领域实现的核心是微积分算子的有理化，本节采用间接近似法，用Oustaloup滤波器对分数阶微积分算子进行整数阶近似处理，本文拟用的是Oustaloup滤波器的方法，选定拟合频段（w₁，w₂），则分数階算子可由连续的滤波器传递函数表示为：

式中，连续滤波器的增益K，零点w`_k，极点w_k可由式（14）得出：

滤波器阶次N的取值决定逼近程度的精度，N值越大逼近程度越高，精度越高，对于其计算也将越复杂。通过滤波器的信号可以实现对α阶的微积分计算，从而实现分数阶PID控制器。

车辆制动防抱死分数阶PID控制器是以车辆实时滑移率变化与最佳滑移率偏差为输入，通过把分数阶控制理论与传统PID控制结合形成的。车辆制动防抱死分数阶PID控制器的框图如图2所示。

2.3 基于遗传算法的分数阶PID参数优化

为使控制器设计更为合理，则需对K_P、K_i、K_d、λ、μ进行优化，传统的试凑法选出的参数难以达到理想的状态，可以通过遗传算法对参数进行优化，遗传算法（Genetic Algorithm）因其具有直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定特点，且具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力，备受学者关注，遗传算法包括产生群体、计算适应度值、再生、交叉、变异等操作。

计算机可以精确的模拟遗传操作并保持群体中的多样性和基因间的交流，从中选取优胜的个体保留并继续遗传操作，在此之中交叉操作是对进化起到核心作用，也是取得更优的个体，从而达到快速的收敛到最优解的邻域内，不断逼近最优解，当种群在进化过程中陷入局部最优而无法跳出时，变异则能打破局面让种群跳出进入下一个最优值的搜索中去，从而达到最优值^[14]。

适应度函数的选择一般有多种，选择较多的有时间绝对偏差积分（ITAE）性能指标，本文为了保证系统的动态特性，参见常用的误差绝对时间积分的性能指标和系统的调节时间确定系统的评价函数，同时为了防止控制量过多，又加入了输入的平方项，最终确定的性能函数为：

式中：ω₁、ω₂和ω₃为权重值;e（t）为系统误差;u（t）为控制输入;t_s为系统调节时间。

遗传算法优化分数阶PID参数就是求使适应度值取最小值的参数，使系统获得满意的动态特性，其优化过程如图3所示。

通过遗传算法对车辆ABS分数阶PID参数进行整定，遗传算法优化分数阶PID参数设置为：采用二进制编码，初始种群大小设为100，迭代次数设为50，，编码长度为50，交叉率为0.75，变异率为0.05。

采用MATLAB遗传算法工具箱进行分析求解，其中最优个体适应度曲线如图4所示，个体适应度值代表种群个体对本文所设计优化目标适应度的好坏，可以看出随着迭代次数增加适应度值减小迅速，在15代后趋于较小的稳定值。此时个体的全局最优位置即为分数阶PID参数的优化解，为能快速得到相应的优化结果，对需要优化的五个参数进行一定限制，分别对K_P为[0，600]，K_I为[0，100]，K_D为[0，100]，λ为[-1，0]，μ为[0，1]，最终得到的优化的整定参数为，K_P=543.002，K_I=61.848，K_D=70.311，λ=-0.163，μ=0.829。

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink环境下对分数阶PID控制的车辆ABS进行离线仿真，且对所设计的模糊自适应制器^[9]和传统PID控制器的ABS系统分别仿真并进行对比，仿真的路面为干混凝土路面，其中λ_T=0.2，μ_H=0.9，μ_G=0.75，车辆及优化主要参数如表1所示。

模糊自适应PID控制器设置中以误差和误差变化率作为输入，对不同时刻自动调节其余PID三个参数（K_p、K_i和K_d）之间的关系，从而对输出的三个参数进行在线修改，对被控对象提升了较好的动态与静态的性能（其中模糊规则参考文献9）。

在同等条件下，对传统整数阶PID控制器中的三个参数进行相应的调试，最终得到预期的效果时确定传统整数阶PID控制器的参数：

K_p=500，K_i=0.01，K_d=15

分别对采用三种不同控制方法的ABS制动过程进行仿真试验，试验道路参数已给出，在干混凝土路面上，以初速度为20m/s开始制动，直至制动结束，其主要制动性能指标如图5～图7所示，分别表示正常整数阶PID、模糊自适应PID和分数阶PID所对应的车辆车速和轮速对比、制动距离对比、滑移率响应曲线的对比仿真图。

由图5所示车速与轮速变化图可以看出，设计的优化过的分数阶PID控制可以使车辆速度和轮速很平稳的同步降低至0，与其他两种方法相比更为稳定，波动较小，从图6所示制动终止距离来看优化过的分数阶PID控制距离最短为33.15m，模糊自适应PID控制器的制动距离为34.43m，而整数阶PID控制器的制动距离为35.08m，在图7可以看出采用優化过的分数阶PID控制能更好的跟踪最优滑移率，且超调量较小，跟踪误差较小，响应快速，从中充分体现了分数阶PID控制的优越性能。

制动工况的仿真数据如表2所示：

4 结论

（1）建立了基于Simulink的制动防抱死车辆模型。以跟随最佳滑移率为设计目标，设计了满足制动安全性能。基于分数阶微积分理论和遗传优化算法设计了分数阶PID车辆ABS控制器，最后采用Simulink进行仿真验证。

（2）仿真证明了设计的分数阶PID车辆ABS控制器的有效性，提高了车辆的行驶安全、稳定性;分数阶PID控制相较于模糊自适应PID控制和整数阶PID，制动时间下降了2.1%和3.1%，制动距离缩短了3.86%和5.82%，结果表明分数阶PID控制器具有更好的控制效果。

参考文献

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