考点专练二,动量和能量
【考情分析】
高中物理所涉及的力学、热学、电磁学、光学和原子物理等各部分内容中都有与其相对应的能量，如动能、势能、内能、电势能、光子能量、能级和核能等. 能量是贯穿高中物理的一条主线，是分析和解决问题的主要依据.
动量和能量是动力学内容的延续和深化，其中的动量守恒定律、能量守恒定律是自然界中普遍适用的基本规律，用动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律解决动力学问题，比用牛顿运动定律更为简单，是解决问题的重要方法. 题型主要是计算题，且常与牛顿运动定律、圆周运动、电磁学和热学综合，多为考试压轴题.
一、 动量定理 动量守恒定律
[【例题精讲】]
例1 如图2-1所示，质量[m1=0.3kg]的小车静止在光滑水平面上，车长[L=1.5m],现有质量[m2=0.2kg]可视为质点的物块，以水平向右的速度[v0=2m/s]从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止. 物块与车面间的动摩擦因数[μ=0.5],取[g=10m/s2]，求：
[图2-1]
（1）
（2）
解析 （1）设物块与小车的共同速度为[v]，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律
[m2v0=m1+m2v]
设物块与车面间的滑动摩擦力为[F]，对物块应用动量定理，有
[-Ft=m2v-m2v0]
其中[F=μm2g]
解得[t=m1v0μm1+m2g]
代入数据得[t=0.24s]
（2）要使物块恰好不从小车滑出，则物块到车面右端时与小车有共同的速度[v′]
[m2v′0=m1+m2v′]
由功能关系
[12m2v′20=12m1+m2v′2+μm2gL]
代入数据解得[v0′=5m/s]
即物块不从小车右端滑出，物块滑上小车的速度[v0′]不能超过5m/s.
点拨 涉及动量守恒定律、动量定理和功能关系. 注意临界条件，物块恰好不从小车滑出时，与小车有共同速度，而并非速度为零.
例2 一辆质量为[m]的小车（一侧固定一轻弹簧），以如图2-2所示速度[v0]水平向右运动，一个动量大小为[p]，质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一段时间[ΔT]，解除锁定后，使小球以大小相同的动量[p]水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小车停下来. 设地面和车厢均光滑，除锁定时间[ΔT]外，不计小球在小车上的运动和弹簧的压缩、伸长时间. 求：
[图2-2]
（1）小球第一次入射后到再弹出时，小车速度大小和这一过程中小车动能的减少量；
（2）从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间.
解析 （1）小球射入小车和从小车中弹出的过程中，小球和小车所组成的系统动量守恒. 由动量守恒定律
[mv0-p=mv1′]
[mv1′=mv1+p]
则[v1=v0-2pm]
小車动能减少量
[ΔEk=12mv20-12mv21]
解得[ΔEk=2pv0-2p2m=2p(v0-pm)]
（2）小球第二次入射和弹出及以后重复的过程中，小球和小车所组成的系统动量守恒
[mv1-p=mv2′ ]
[mv2′=mv2+p]
则[v2=v1-2pm=v0-2(2pm)]
同理可得[vn=v0-n(2pm)]
要使小车停下来，就要[vn＝0]，则小球重复入射和弹出的次数为[n=mv02p]
故小车从开始运动到停下来所经历时间为
[t=nΔT=mv0ΔT2p]
点拨 涉及动量守恒、动能变化. 对于重复性运动，要找出变化规律.
[【专题训练2.1】]
1. 一只小球沿光滑的水平面运动，垂直撞到竖直墙上. 小球撞墙前后的动量变化量为[Δp]，动能变化量为[ΔE]，关于[Δp]和[ΔE]：①若[Δp]最大，则[ΔE]也最大；②若[Δp]最大，则[ΔE]一定最小；③若[Δp]最小，则[ΔE]也最小；④若[Δp]最小，则[ΔE]一定最大. 以上说法正确的是
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
2. 质量为[M]的木块被固定在光滑的水平面上，质量为[m]的子弹以速度[v0]水平飞来，穿透木块后速度大小为[v02]；如果将可以自由滑动的木块放在此水平面上，开始静止，同样的子弹以同样的速度[v0]水平飞来，刚好能够穿透木块并使二者以共同速度运动. 在上述两个过程中，如果子弹受到阻力大小完全相同，穿孔的深度也完全相同，则（）
A. [M=m]B. [M=2m]
C. [M=3m]D. [M=4m]
3. 一个质量为2kg的质点从静止开始沿某一方向做匀加速直线运动，它的动量p随位移[x]的变化关系为p=4[x](kg·m/s)，关于此质点，正确的是（）
A．加速度为2m/s2
B．2s内受到的冲量为8N·s
C．在相等的时间内，动量的增量一定相等
D．通过相同的距离，动量的增量可能相等
4. 如图2-3所示，矩形盒[B]的质量为[M]，放在水平面上，盒内有一质量为[m]的物体[A，A与B、B]与地面间的动摩擦因数分别[μ1]、[μ2]，开始时二者均静止. 现瞬间使[A]获得一向右的水平速度[V0]，以后物体A在盒B的左右壁碰撞时，B始终向右运动. 当A与B最后一次碰撞后，B停止运动，A则继续向右滑行距离S后也停止运动，求盒B运动的时间t.
[图2-3
]
5. 大炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量为[m=6.0kg]（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度[v0=60m/s.]当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为[m0=4.0kg]，现要求这一片不能落到以发射为圆心，以[R=600m]为半径的圆周范围内，则刚爆炸时两弹片的总动能至少多大？（[g=10m/s2]，忽略空气阻力）.
6. 如图2-4所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L的质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球. 现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当线绳与AB成[θ]角时，圆环移动的距离是多少？
图2-4
7. 如图2-5所示，光滑水平直轨道上有三个滑块A、B、C，质量分别为[mA=mC=2m，mB=m,]A、B用细绳连接，中间有一压缩的轻弹簧 (弹簧与滑块不拴接). 开始时A、B以共同速度[v0]运动，C静止. 某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同. 求B与C碰撞前B的速度.
图2-5
8. 如图2-6所示，一质量为0.99kg的木块静止在足够长的水平轨道AB的B端，水平轨道与半径为10m的光滑弧形轨道BC相切. 现有一质量为10g的子弹以500m/s的水平速度从左边射入木块但未穿出. 已知木块与轨道AB的动摩擦因数[μ=0.5]，[g=10m/s2]. 求：
圖2-6
（1）子弹射入木块时与木块获得的共同速率；
（2）子弹射入木块后与木块在圆弧轨道上升的最大高度；
（3）从木块返回B点到静止在水平面上，摩擦阻力的冲量大小.
9. 滑块A和B（质量分别为mA和mB）用轻细线连接在一起，放在水平桌面上，水平恒力F作用在B上，使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动，如图2-7所示. 已知滑块A、B与水平面的动摩擦因数均为[μ]，在力F作用t秒后，A、B间的连线突然断开，此后力F仍作用于B. 求滑块A刚好停住时，滑块B的速度多大？
[图2-7]
二、 动能定理 机械能守恒定律
[【例题精讲】]
例1 卡车在平直公路上匀速行驶，司机突然发现前方停着一辆故障车，于是紧急刹车，但卡车仍向前滑行，并撞上故障车，它们共同滑行一段距离[l]后停下. 经测量，卡车刹车时与故障车距离为[L]，撞车后共同滑行的距离[l=825L]，假定两车与地之间的动摩擦因数相同，且卡车质量[M]为故障车质量[m]的4倍.
（1）设卡车与故障车相撞前的速度为[v1]，两车相撞后的速度变为[v2]，求[v1v2]；
（2）卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施，才能避免事故发生.
解析 （1）碰撞过程中，动量守恒
[Mv1=(M+m)v2]
则[v1v2=54]
（2）设卡车刹车前速度为[v0]，车与地之间的动摩擦因数为[μ]，两车相撞前卡车动能变化
[12Mv20-12Mv21=μMgL]
碰撞后两车向前滑动，动能变化
[12(M+m)v22-0=μ(M+m)gl]
得[v20-v21=2μgL]
[v22=2μgl]
又因[l=825L]，得
[v20=3μgL]
如果卡车滑到故障车前就停止，则
[12Mv20-0=μMgL′]
故[L′=32L]
点拨 涉及动量守恒、动能定理、牛顿运动定律. 弄清的物理过程，建立起清晰的物理图景.
例2 在遥控赛车比赛中，比赛路径如图2-8所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟. 已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5W工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均不计. 图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，s=1.50m. 问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（g取10m/s2）
[h][L][s] [图2-8]
解析
[s=v1t]
[h=12gt2]
解得[v1=sg2h=3m/s]
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为[v0]，最低点的速度为[v1′]. 由牛顿第二定律及机械能守恒定律
[mg=mv20R]
[12mv21′=12mv20+mg(2R)]
解得[v1′=5gh=4m/s]
则赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该在[v1]、[v1′]中取[v1′]即[vmin=4m/s]
设电动机工作时间至少为t，根据动能定理
[Pt-fL=12mv2min]
可得t=2.53s
点拨 涉及平抛运动、圆周运动、动能定理和机械能守恒定律. 对综合问题，求解时分阶段根据相应物理规律列式求解.
[【专题训练2.2】]
1. 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B. 支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图2-9所示.开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则（）
[图2-9]
A. A球的最大速度为[2gl]
B. A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
C. A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D. A、B两球的最大速度之比vA：vB=2∶1
2．足球运动员在距球门正前方s处的罚球点，准确地从球门正中央横梁下边缘踢进一球. 横梁下边缘离地面的高度为h，足球质量为m，空气阻力忽略不计，运动员至少要对足球做的功为W. 下面给出功W的四个表达式中只有一个是合理的，对下列表达式的合理性做出判断. 其中W的表达式是（）
A．[W=12mg(h+h2+s2)]
B．[W=12mgh2+s2]
C．[W=mgh]
D．[W=12mg(h2+h2+s2)]
3．某同学在篮球场的篮板前做投篮练习，假设在一次投篮中这位同学对篮球做功W，出手高度为h1，篮筐距地面高度为h2，篮球的质量为m. 不计空气阻力，则篮球进筐时的动能为（）
A. [W+mgh1-mgh2]B. [mgh2-mgh1-W]
C. [mgh1+mgh2-W]D. [W+mgh2-mgh1]
4．图2-10为某探究活动小组设计的节能运动系统. 斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为[36]. 木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程. 则（）
图2-10
A．m=MB．m=2M
C．M=2mD．M=3m
5．一根细钢管被弯曲成半径为R的圆形，如图2-11所示，管的直径与圆的半径相比可以忽略不计.管内有一质量为m的小球做圆周运动，某次小球经过最低点时对管的压力为6mg，此后它转过半周后刚好能通过最高点，则在此过程中，小球克服摩擦力做的功为多少？
[图2-11]
6．如图2-12所示，竖直固定放置的斜面AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD的B端相切，圆弧面半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，∠COB=[θ]. 现有一个质量为m的小物块从斜面上的A点无初速滑下，已知小物块与AB斜面间的动摩擦因数为[μ].求：
[图2-12]
（1）小物块在斜面上通过的总路程；
（2）小物块通过C点时，对C点的最小压力.
7．如图2-13所示，竖直平面内的[34]圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点为光滑轨道的最高点且在O的正上方. 一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰好能通过B点，最后落到水平面C点处. 求：
[图2-13]
（1）小球通过轨道B点的速度大小；
（2）释放点距A点的竖直高度；
（3）落点C与A点的水平距离.
8．质量为M和m的两个小球由一细线连接（[M>m]），将M置于半径为R的光滑半球形容器的上口边缘，并从静止释放，如图2-14所示. 求当M滑至容器底部时两球的速度. （设两球在运动过程中细线始终处于绷紧状态）
[图2-14]
9．如图2-15所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动. 已知球B运动到最高点时，对杆恰好无作用力. 求：
图2-15
（1）球B在最高点时，杆对水平轴的作用力大小；
（2）球B转到最低点时，球A和B对杆的作用力分别是多大？方向如何？
三、 动量和能量
[【例题精讲】]
例1 如图2-16所示，两个杂技演员（都可视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处的A点. 求男演员落地点C与O点的水平距离[s]. 设男、女演员质量之比[m1m2=2]，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R.
图2-16
解析 杂技演员先作圆周运动，分离后一人做平抛运动，一人做圆周运动. 设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为[v0]，由机械能守恒定律
[(m1+m2)][gR=12(m1+m2)v20]
设刚分离时男演员速度的大小为[v1]，方向与[v0]相同，女演员速度的大小为[v2]，方向与[v0]相反，由动量守恒
[(m1+m2)v0=m1v1-m2v2]
分离后男演员做平抛运动，设他从被推出到落在[C]点所需的时间为[t]，由运动学规律
[4R=12gt2]
[s=v1t]
分离后女演员刚好回到[A]点，由机械能守恒定律
[m2gR=12m2v22]
由[m1=2m2]，可得[s=8R]
点拨 涉及牛顿运动定律、动量守恒定律、能量转化和守恒. 对联系实际的问题，关键是用好物理规律．
例2 如图2-17所示，质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度[v0]飞向质量为M的行星，此时行星相对于太阳的速度为[u0]，绕过行星后探测器相对于太阳的速度为[v]，此时行星相对于太阳的速度为u，m、M，[v0]、[v]、[u0]、u的方向均可视为相互平行.
（1）试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中满足的“动量守恒”及“始末状态总动能相等”的方程，并在m[≪]M的条件下，用[v0]和[u0]来表示[v].
图2-17
（2）若行星是质量为M=5.67×1026kg的土星，其相对太阳的轨道速率[u0]=9.6km/s，而空间探测器的质量m=150kg，相对于太阳迎向土星的速率[v0]＝10.4km/s，则探测器绕过火星后相对于太阳的速率将增为多少？
（3）若探测器飞向行星时其速度[v0]与行星的速度[u0]同方向，则是否仍能使探测器速率增大？
解析 （1）以[u0]方向为正方向，有
[-mv0+Mu0=mv+Mu]
[12mv20+12Mu20=12mv2+12Mu2]
得[v=M-mM+mv0+2MM+mu0]
因为[m≪M]
∴ [v=v0+2u0]
（2）代入数据，得[v=29.6km/s]
（3）不能. 如[u0]与题中反向，则在上述坐标系中，[u0]＜0，要使探测器追上并绕过行星，应有[|v0|>|u0|]，因此，[|v|=|v0-2u0|<|u0|]，其速率不能增大.
点拨 涉及动量守恒、能量守恒. 应用动量守恒时速度都是相对同一参考系.
[【专题训练2.3】]
1. 一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，则重力对物块做的功等于（）
A. 物块动能的增加量
B. 物块重力势能的减少量与物块克服摩擦力做的功之和
C. 物块重力势能的减少量和物块动能的增加量以及物块克服摩擦力做的功之和
D. 物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和
2. 如图2-18所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力[F]拉位于粗糙面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动. 则在移动过程中（）
图2-18
A. F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B. F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C. 木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能
D. F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和
3. 如图2-19所示，在足够长的光滑水平面上，有一静止的质量为[M]的斜面，斜面表面光滑、高度为h、倾角为[θ]. 一质量为[m（m 图2-19 A．[h]B．[mm+Mh] C．[mMh] D．[Mm+Mh] 4. 如图2-20所示，水平光滑地面上停放着一辆质量为M的小车，小车左端靠在豎直墙壁上，其左侧半径为R的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，轨道最低点B与水平轨道BC相切，整个轨道处于同一竖直平面内. 将质量为m的物块（可视为质点）从A点无初速释放，物块沿轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出. 重力加速度为g，空气阻力可忽略不计. 关于物块从A位置运动至C位置的过程，正确的是（） 图2-20 A．小车和物块构成的系统水平方向动量守恒 B．物块克服摩擦力所做的功为[mgR] C．摩擦力对小车所做的功为[mgR] D．由于摩擦产生的热量为[mMgRM+m] 5. 如图2-21所示，在光滑水平面右端B点处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆形轨道BC ，在距离B为x的A点，用一个较大的水平力向右瞬间弹击质量为m的小钢球，使其获得一个水平向右的初速度，质点到达B点后沿半圆形轨道运动，经过C点后在空中飞行，正好又落回到A点. 求： [x] 图2-21 （1）小钢球经过C时的速度； （2）小钢球经过B时的速度； （3）在A点，瞬间弹击小钢球的力的冲量. 6. 如图2-22所示，在水平地面上固定一个内边长为L、质量为M的薄壁箱子. 光滑的物块B的质量为m，长为[L2]，其左端有一光滑小槽，槽内装有轻质弹簧. 开始时，使[B]紧贴[A1]壁，弹簧处于压缩状态，其弹性势能为[Ep]. 现突然释放弹簧，滑块[B]被弹开. 假设弹簧的压缩量较小，恢复形变所用的时间可以忽略. 图2-22 （1）求滑块[B]到达[A2]壁所用的时间； （2）将箱子置于光滑的水平地面上而不固定，仍使[B]紧贴[A1]壁，弹簧处于压缩状态，其弹性势能为[Ep]，整个系统处于静止状态．现突然释放弹簧，滑块[B]离开[A1]壁后，弹簧脱落并被迅速拿出箱子．求此时滑块[B]的速度[v]与箱子的速度[V]． 7．冰壶比赛在水平冰面上进行，如图2-23所示. 比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O. 为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小. 设冰壶与冰面间的动摩擦因数为[μ1]=0.008，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减少至[μ2]=0.004.在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线中点处以2m/s的速度沿虚线滑出. 为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O点，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？（g取10m/s2） [30m][起滑架][投掷线][圆垒] 图2-23 8．如图2-24甲所示，物块A、B的质量分别是[mA=4.0kg]和[mB=3.0kg]，用轻弹簧拴接A、B并放在光滑的水平地面上，物块B的右侧与竖直墙面接触. 另有一物块C从[t=0]时刻起，以一定的速度向右运动，在[t=4s]时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的[v-t]图象如图2-24乙所示. 求： [甲][乙] [4][8][12][9 3 O -3] 图2-24 （1）物块C的质量[mC]； （2）在[t=4s]到[t=12s]的时间内，墙壁对物块B的弹力对B做的功W及对B的冲量I的大小和方向； （3）B离开墙后弹簧具有的最大弹性势能[Ep]. 9．如图2-25所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h. 物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O點正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为[μ]. 现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为[h16]. 小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g. 求物块在水平面上滑行的时间t. [h] 图2-25 10．如图2-26所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的一小段圆弧. 可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍. 两物体在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动. B到d点时速度沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的[34]，A与ab段的动摩擦因数为[μ]，重力加速度为g. 求： 图2-26 （1）物块B在d点的速度大小； （2）物块A滑行的距离s.
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