阿贝尔方法在级数理论中的应用

【摘要】简单介绍阿贝尔方法的意义;探讨阿贝尔方法在级数理论中的用途,便会发现它的巨大的作用;以及在判断级数是否收敛的问题中,阿贝尔方法的优点体现得淋漓尽致;将阿贝尔引理的证法推广到二重和的情形,把狄利克雷判别法扩充到二重级数上面。

【关建词】阿贝尔方法 阿贝尔引理 狄利克雷判别法 级数理论。

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)08-0221-02

1 阿贝尔方法的意义

阿贝尔(N.H Abel,1802——1829)的方法是一套比较古典的数学分析技巧,它在数学分析的某些部分,特别是级数的收敛性理论及有关和式的阶的计算中常常用到该方法。阿贝尔方法是从一个十分浅显的恒等式开始的,这个恒等式可以称为和差变换公式。又可以称为分部求和公式。它相当于积分学中的分部积分法。从这个简单的恒等式可以直接导出阿贝尔引理。从而又可导出一系列很有价值的命题。简单地说,就是表1所示的模式:

2 探讨阿贝尔方法在级数论中的用途

2.1 阿贝尔定理及推论的演生

(1)先来看定理(和差变换公式):设m

证明:将等式的和拆开,然后对Ak进行同类项合并即得。

利用该定理可得以下推论:

推论(分部求和法):设,

则。

于是可推得阿贝尔引理:若对一切n=1,2,3…而言,,

,则有

。

证明:应用分部求和法,由于

可得到:

以上两个定理、一个推论都是在简单的和差变换中得到的,非常简单明了。当把它们运用到级数理论中去时,便会发现它的巨大的作用。

(2)再来看阿贝尔定理及判别法:

阿贝尔定理定理:设,则。

级数乘法定理:令Cn=aobn+a1bn-1+…anbo又设级数都收敛,则

。

在判断级数是否收敛的问题中,阿贝尔方法的优点体现得淋漓尽致。

阿贝尔判别法定理:设级数为收敛,而为绝对收敛,(其中可以是复数),则必收敛。

推论:如果级数收敛,且数列单调有界,则级数收敛。

(3)狄利克雷判别法定理及推论

狄利克雷判别法定理:设为有界,而为绝对收敛,且(其中an,bn可以是复数)则必收敛。

可得出推论:设级数的部分和数列有界,且数列{an}单调趋于零,则级数收敛。

2.2 将阿贝尔引理的证法推广到二重和的情形,把狄利克雷判别法扩充到二重级上面

先回顾二重级数的定义:设

是由两个自然数附标决定的无穷数集,作这些元素的“无穷和”,并记作:则称为二重级数。记:,并称Sm.n为二重级数的部分和。如果二重极限有限,则称二重级数收敛于S。

定理:若给定一个二重级数,其部分和的绝对值恒小于某一常数C,又设对一切正整数m,n而言,

,

并且

则二重级数必收敛,

证明:首先证明二重和的情形下的阿贝尔引理,设H=

其中()

于是仿阿贝尔引理的证明,可得:

(1)

事实上,我们可以写出下列等式:

其中

=0,=0(对其余的)

故最后的以H代时,就可看出不等式(1)成立,

显然,

故可见当或等于1时,,而在一般情形下:

令:

因此:

由于 ,可见二重级数为收敛的。

2.3 下面通过一个实例阐明阿贝尔方法在级数论中的用途

设,试证:二重级数为收敛,

证明:不难算出:

以及

其中,(当时)

由上面定理提供的判别法,可以知道该级数是收敛的。

参考文献

[1] 李容录教授在.数学分析与应用.杂志上发表的.森内尔引理的推广.1988.

[2] 侯风波主编.高等数学.规划教材,辽宁大学出版社2002、5.

[3] 赵焕宗主编.应用高等数学.通用教材,上海交通大学出版社,1999、7.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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