道路对Lotka—Volterra竞争系统稳定性的影响
摘 要：考虑了道路对一类带有三次功能反应项和扩散的Lotka-Volterra竞争系统稳定性的影响。通过将系统离散化，借助数值模拟，发现设置道路会延长生态系统达到稳态的时间。
关键词：竞争系统；稳定性；道路影响
1 概述
道路的大肆兴建促进了社会经济迅速发展，但同时，它们对自然景观和生态系统所产生的诸如环境污染、景观破碎、生境退化、生物死亡率递增、生物多样性减少、生物入侵、生态阻隔和廊道效应等各种生态影响也在急剧地扩大[1-4]。正确理解和全面分析道路网络建设以及交通所产生的生态影响，最大限度地降低道路网络对自然生态系统的负面效应，进而保护生物多样性、维持生态系统的平衡[1，5]。
关于道路生态学的研究，早期主要基于生物调查[6]、叠图分析[7]等方法。这类方法的研究对象较为片面，例如，选取穿越一段树林的道路两侧，这导致了道路与生态系统之间的全局相互作用不甚明了。利用反应扩散系统模拟道路与生态系统的相互作用并对模型进行动力学行为分析是近年来的研究热点[8]。物种的随机扩散可以借助简单Laplace算子？驻描述；不设置道路时，物种在空间上具有一致的扩散速率；设置道路时，物种从道路一侧穿越到另一侧的扩散速率由于受到车流量等因素的影响会显著减小。
受文[9]的启发，在本文中，考虑两竞争种群的Lotka-Volterra反应扩散系统，对模型进行了稳定性分析和数值模拟，研究了道路干扰对竞争系统达到稳态的影响，发现设置道路会延长生态系统达到稳态的时间。这说明，在自然保护区不宜设置太多的道路，以便维护生态系统的稳定性及其生物多样性。在众多的Lotka-Volterra反应扩散系统中，一般反应项是二次的[10-11]，本文讨论如下带有三次反应项的Lotka-Volterra竞争反应扩散系统：
其中，u和v分别表示两竞争种群的数量；？驻=？坠xx+？坠yy是二维空间的Laplace算子，描述了物种在二维空间扩散；d1和d2为扩散系数，a，e表示u和v的出生率，b，g表示u和v的自我调节率，c，f描述的是u和v之间的竞争关系。所有的参数均为正常数。
在系统（1）中，若c>g，f>b，则表示两不同种群之间的相互作用强于同一种群内部个体之间的相互作用。此时称系统（1）为一个强竞争系统。若c 2 稳定性分析 考虑系统（1）相应的反应系统： 定理4若bg>cf，ag>ce，be>af同时成立，则系统（2）在正平衡点E*（u*，v*）处是渐近稳定的。 证明 系统（2）在E*（u*，v*），处的雅克比矩阵为： 由李雅普诺夫第一方法，知系统（2）在正平衡点E*（u*，v*）处是渐近稳定的。证毕。 3 数值模拟及分析 在这一节，首先对系统（2）进行数值模拟。取a=0.5，b=0.08，c=0.03，e=0.3，f=0.06，g=0.02，则 为渐近稳定的，如图1所示，在第20年左右u种群趋于最大环境容纳量2.5，而v种群在第60年左右趋于灭亡。取a=0.5，b=0.08，c=0.03，e=0.5，f=0.06，g=0.02，故 为渐近稳定的，如图2所示，在第20年左右v种群趋于最大环境容纳量5，而u种群在第30年左右趋于灭亡。取a=0.5，b=0.08，c=0.03，e=0.3，f=0.04，g=0.02故E*（u*v*）≈（1.5811， 3.1623）是渐近稳定的，如图3所示，两个种群一直保持相互依存的关系。 其中h为相邻离散网格点距离。对时间坐标类似处理，则系统（1）的相应离散系统为： 其中？子为离散时间步长，h为离散空间步长。先考虑不设置道路时，两竞争种群的空间传播性质。取a=0.5，b=0.08，c=0.03，e=0.3，f=0.04，g=0.02，d1=d2=0.1，？子=0.2，h=0.4。模拟初始时，系统中第一列两种群的密度分别为1，其它列为0。采用500×500的空间，每个格点与相邻的四个格点之间可以扩散，边界按零流边界处理，即整个空间是封闭的，边界上的点只在空间内部扩散。经过计算，在t=469.8秒时，u种群的生物波传到最后一列，见图5；在t=1325.2秒时，v种群的生物波传到最后一列，见图7。在t=1483.6秒时，u种群的生物波达到稳态值1.5811，见图8；在t=1493.6秒时，v种群的生物波达到稳态值3.1623，见图9。 下面进一步考虑设置道路以后对物种扩散的影响。假设在道路垂直方向上，道路两侧点的格点的扩散系数为d1=d2=0.03，其它格点的扩散系数为d1=d2=0.1，别的参数值不变。经过计算，在t=471.4秒时，u种群的生物波传到最后一列，见图11；在t=1341秒时，v种群的生物波传到最后一列，见图13。在t=1499.6秒时，u种群的生物波达到稳态值1.5811，见图15；在t=1509.6秒时，v种群的生物波达到稳态值3.1623，见图17。通过比较，发现在第200列设置一条道路时，生态系统达到稳态的时间比不设道路的时间长。这说明道路会影响生态系统达到稳态的时间。 4 结束语 两种群竞争系统在自然界非常普遍。研究道路设置与两种群达到稳态值的时间关系，对于自然保护区是否设置生态廊道[15]提供了一定的理论指导与借鉴作用。 参考文献 [1]李俊生，张晓岚，吴晓莆，等.道路交通的生态影响研究综述[J].生态环境学报，2009，18（3）：1169-1175.
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[15]董艳竹.生态廊道——一场道路建设的“革命”[N].郑州日报，2014.
作者简介：招倩仪（1995-），女，学士，研究领域为计算数学。
郭淑玲（1994-），女，学士，研究领域为应用数学。
杨勇（1980-），男，博士，讲师，研究领域为生物信息学。
吴楚芬（1982-），女，博士，副教授，研究领域为微分方程理论及应用。