加强数值计算课程教学，提高学生科学计算素质

摘 要： 本文从数值计算课程的特点出发，介绍了该课程中常用的一些科学计算的思想和方法，这些思想和方法是学生科学计算素质的重要部分，为了提高这些素质，作者对数值计算课程的课堂教学、实验教学、考核方法提出了一些建议。

关键词： 数值计算课程 科学计算 教学方法

理论推演与实验证明是传统的两大科学方法。随着计算机的发展及其在科学技术领域的应用、推广与深化，科学计算已成为继理论推演和实验证明之外的第三种科学手段。现在，作为科学计算基础内容的数值计算方法已被广泛应用于科学技术和国民经济的各个领域，如石油的勘探与开发、大型水利工程的设计与建筑、天气预报等。数值计算方法之所以应用广泛，一方面因为计算方法是实际问题数值模拟方法的设计、分析与软件实现的理论基础，其内容涉及数学、物理、力学、化学、计算机科学等多种学科的有关内容，另一方面，计算机的发展使得计算方法有了先进的计算工具，而计算能力的提高又使得数值计算成为现实。数值计算是一门介绍适用于计算机上使用的数值分析方法的课程，也称为计算方法课程。数值计算课程是科学计算的基础和理论保障，是大学工科数学中的一门重要课程。

一、数值计算课程的特点

数值计算方法的基础是高等数学、线性代数等课程。数值计算是以数学问题为研究对象的一门学科，具有完善的理论体系，它虽然是数学的一个分支，但不同于纯数学那样只研究数学理论本身，而是着重研究求数学问题的各种数值计算方法和相关理论，包括方法的收敛性、稳定性、误差分析等，为数学问题依靠计算机来求解提供有效的数值方法。为了使学生能够更好地掌握数值计算课程的基本思想、基本原理和基本方法，教师要摆脱数学思维模式的束缚，过渡到数值思想，提高学生的科学计算的素质。

数值计算课程内容主要包括：数值逼近、数值代数、微分方程数值解法等。它具有以下几个特点。

1.实用性。这门课程中的许多方法的理论基础是在高等数学和线性代数中学习过的知识，但是与这些基础课程强调理论分析不同，它更注重运用这些理论分析的结果，同时它注重应用的科学性，注重解决实际问题。

2.注重算法。数值计算课程主要研究算法，算法必须能在计算机上实现。例如，解一个含有大量未知量的线性方程组或计算高阶矩阵的全部特征根，无论计算方法如何好，单凭人工都是很难实现的。这就要求我们会利用计算机进行编程计算，或利用现成的软件进行计算，这无疑对学生的计算机水平提出了相当高的要求。另外很多计算方法都具有便于计算机求解的特点。

3.工程背景强。数值计算方法中的数学方法和理论，本身并不都是数学学科的产物，它首先来源于实际计算的需要，该课程十分注重解决实际工程问题，在地质勘探、汽车制造、天气预报、航空航天技术中已经得到广泛的运用，它是解决“计算”问题的桥梁和工具。

二、学生科学计算素质应包括的内容

数值计算方法中蕴含着丰富的数学思想和数学方法，在教学中应注意由浅入深、由特殊到一般，在介绍方法和引进概念时应力求揭示问题的实质，对于方法和概念之间应着重阐明其联系。数值计算方法中有如下一些常用的方法，它们应该是提高学生科学计算素质的重要内容：

1.递推法。递推法是计算公式中常采用的形式，它的基本思想是将一个复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复，这种重复在算法中表现为循环。例如多项式求值的秦九韶方法，就是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，这种化繁为简的方法是计算方法研究的基本原则之一。

2.迭代法。迭代法是处理线性或非线性问题的重要手段之一。迭代法是指按同一公式重复计算的一个数值过程。例如用雅克比迭代法和赛德尔迭代法求线性方程组的数值解，就是先构造迭代公式，再选定初值，逐次计算，得到近似解。

3.以直代曲。这是计算方法常用的手段之一，它的思路是将非线性问题线性化，即在局部范围内用直线近似代替曲线。例如用牛顿迭代法求非线性方程的解，就是典型的以直代曲的例子。

4.化整为零也是计算方法研究的一种重要手段。用复化梯形公式和复合辛普森公式求定积分的近似值就是一个典型的例子。

递推法、迭代法、局部以直代曲法、化整为零法，在计算方法的研究中常常互相渗透、互相联系。如牛顿法解非线性方程是局部以直代曲和迭代法的结合，复合梯形公式求定积分是化整为零和局部以直代曲的结合。这些方法都是用极限思想研究不同数值问题的具体表现。极限思想是从有限中找到无限，并且使之确定下来的一种思想。解非线性方程的牛顿法是一个迭代过程，是极限无限变化过程中的某个阶段，一方面计算机快速而有效的计算可以完成这个阶段，给出计算结果的数值表，另一方面分析此数值表能够帮助我们判断此算法的收敛性和收敛的快慢程度。当然我们还可以用极限的思想构造其他解非线性方程的数值解法，并分析每一种数值方法的实用性和有效性。极限思想在计算方法中的应用，使学生对极限的概念有了更直观和深刻的理解，从而提高了学生的科学计算的素质。

三、加强数值计算方法课程的教学与考核

为提高学生的科学计算素质，就要加强该课程的教学和考核工作。首先要制定适当的教学大纲与考试大纲，其次要通过改革教学方法及方式，培养学生应用数学解决问题的能力，使学生能够把所学内容有机地结合在一起，形成一个完整的理论体系，从而激发学生的学习兴趣，培养他们的创新精神。

1.课堂教学。课堂讲授是数值计算方法教学中的主要部分，我们应该尽可能地突出数值计算课程的特色。由于数值计算中涉及的问题都是从实际中提炼出来的，再应用数学的理论加以推导，最后提出具体的解决方法，因此，每种数值方法的讲授都应该尽量地从实例中提出问题，引导学生去思考如何运用数学知识去构造解决的方法，然后再给出相应的数学理论。实际上，数值分析的教学过程恰好就是一个简单的科学研究过程，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，使学生对知识的掌握更加扎实。

目前在数值计算教学中还存在一些普遍的问题，如：教学课时有限，课堂讲授不可能面面俱到；覆盖的知识面宽，各部分内容自成体系，结构松散，前后连贯性不强；对问题实际背景分析不够，不了解数学思维过程，很难激发学生的学习兴趣，学生的实践能力也不强；一般教材对实验指导方面不够重视，不利于提高学生的应用能力。为解决这些问题，应该对教材内容进行必要的选择，进行必要的加工。例如常微分方程的数值解，不仅要学习初值问题，而且对边值问题也要进行适当的讨论，以适应数学建模的广泛性，使讲授的内容不仅具有适用性，而且具有严密的逻辑性和完整性。

多年延续下来的授课方式大多是板书，对课本内容边讲解、边板书而完成。现代数值计算方法信息量大、公式繁多、理论与实际结合强，采用传统方式教学，黑板板书占用了大量时间，不利于丰富课堂教学内容，也无法向学生进行程序演示与算法比较，所以我们要对教学方法及教学手段进行改革。数值分析的知识由许多不同的部分组成，而且内容十分广泛，授课时，先从它的实际背景入手，分析建立数学模型的思路及计算方法的理论依据，努力使各部分之间保持紧密的联系，引导学生找出各知识点之间的关系，以及它们的不同之处，分析各种计算方法，提出它们的缺点所在，例如方法的收敛性和稳定性，以及是否为病态问题，这样学生的思路就会非常清晰。例如在插值法的教学中，首先用严密的数学推理解决插值多项式解的存在唯一性，然后对表达式进行求解，从而得到拉格朗日插值法，再通过理论分析，引出牛顿插值法、赫米特插值法等，直至三次样条插值，这样就形成一个完整的插值计算法。在教学中，要适当地运用现代化手段。由于数值计算的理论基础就是数学，它的理论推导有时比较复杂，但原理并不抽象。如果我们只是推导演算来求得计算公式，不但会把一个简单公式复杂化，而且势必会分散学生的注意力，让他们感到枯燥无味，使其在情绪上产生抵触心理，降低学习效率。利用多媒体辅助教学，可以增大信息量，节省一些不必要的时间，把精力集中在讲透基本概念、基本原理及算法实现上，再把一部分实例图形展示给学生，会加深他们的印象与理解。还可以分步重复演示，有效地强化课堂教学效果，激发学生对问题的直观认识，有利于培养学生的创造性思维能力，因而多媒体课件辅助教学也是教学改革的一个重要内容。

2.实验教学。数值计算是一门实验性学科。如果我们只讲授一些算法，不去上机实际操作，势必会造成学生的实践与应用能力很差，学到的知识除了应付考试外不知道如何使用和有什么实际用途。此外，上机实验不但能培养学生的实践能力，而且对其编程能力也有所提高。由于计算方法不但要求适合于计算机上使用，而且该算法必须具有算法的稳定性、理论的可靠性及计算的复杂性，因而上机实践是必不可少的。这也是一个消化所学内容的过程，以此来验证各种方法的优缺点，同时也是改进编写计算机程序的过程，通过自己的亲自编程实践来解决一些简单的实际问题，也是充分调动学生参与的过程，使学生做到学有所用。这样不仅能使学生掌握计算方法的理论知识，学会解决一些简单问题的方法，更重要的是使学生能体会数学的用处。近几年来全国大学生数学建模比赛，更是体现了利用数学思想提炼出解决一些实际问题的数学模型，然后从理论上进行分析研究，最后编制实验程序、上机实践，使得问题得以解决。上机课的目的主要在于培养学生的实践和编程能力，将课堂上学到的数值分析方法理论应用到具体的实例中，这是一个消化课堂上学习的知识点的过程。学生针对同一个问题可以尝试不同方法去解决，并且加以比较，以此来验证各种方法的优缺点。数值分析中的问题仅靠课堂教学、理论推导是很难讲明白的，例如收敛性、稳定性等相关问题，学生在实际的计算过程中，可以通过画图或列表等比较的方式对课堂的知识加深理解。上机实验与课堂教学的结合也是一种初级科研过程，让学生初步感受到科研的乐趣、困难及气氛。但是需要说明的是，上机实验这一教学环节也存在着一些问题：实习题目重复与学生之间的抄袭问题。教师可以将学生分组做不同的题目，或者针对同一题目，应用多种方法选择不同的参数求解，然后比较它们之间的差别。上机实验部分的教学仍有许多需要改进之处，为保证上机质量，在每次上机之前均布置上机作业，并要求学生按上机目的、算法原理、程序、计算结果及结果分析写出上机报告。实践证明，上机实践调动了学生的学习积极性，有利于发挥学生的主观能动性，同时也提高了学生的动手能力。

3.考核检查。考核是每门课程的最后一个环节。以前，数值计算方法课程考试为笔试，其成绩由期中、期末成绩按比例计算。这样的考核方式虽然简单、易于操作，但这也是学生不重视实验、不注重如何应用所学知识解决实际问题的原因之一，造成了学生理论联系实际和解决实际问题的能力差。针对数值分析课程的特点，除平时成绩之外，应将数值实验放在考核范围之内，上机书面报告是考核内容之一。作业是考核内容之一，教师要精选一些与教学内容相联系的习题，注重巩固提高学生的基础知识，使学生掌握基本技能和技巧，获得一些解题方法。做作业是学生学习数学的必要手段之一，很多知识需要整理、推导、应用，才能从中理解所学内容。实验考核是考核的一部分，上机要有实验报告，为避免学生应付或抄袭，应分组实验，每组所给数据（原始）稍做改动，引导学生重视理论和实践相结合，激发他们的创作热情，培养学生积极向上的精神。要重视书面考核的设计，力求知识面广、题型内容丰富，既考查基础知识，又考查解决问题的能力，促进教学的良性循环。

参考文献：

［1］李庆杨，王能超，易大义.数值分析［M］.武汉：华中科技大学出版社，2001.

［2］白峰杉.数值计算引论［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻振初.计算方法与实习［M］.南京：东南大学出版社，2005.

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