Peridynamics理论在材料可靠性分析中的数值方法

摘 要：Peridynamics理论是近年来得到迅速发展的一门新兴的近场动力学理论，该理论是通过积分的方式进行建模，不需要其它附加的条件就能分析陶瓷、混凝土等材料的受力情况。

关键词：PD理论；积分；连续；分子动力学

1.概述

在固体力学中有很多不连续问题是自发形成的，基于连续介质力学的数值算法不能有效的解决该类问题。为了有效解决固体力学中的不连续问题，Peridynamics理论在近年来得到了迅速的发展。

2.PD理论简介

PD理论是由Silling教授于2000年提出的，根据牛顿第二定律，得到PD理论的基本运动方程：

（1）

式中 为点 的一个近场邻域， 为位移场， 为体力密度场， 为材料的密度， 为成对的PD力函数。现用 表示相对位置， 表示相对位移。PD力函数应满足牛顿第三定律，且两物质点间的相互作用力应与两物质点间的相对位置平行，由此可得PD力函数的通用公式：

， （2）

其中 为标量函数。如果材料中物质点 的运动轨迹经过任意一个闭合回路 后，对物质点x所做的功为零，则该材料可用微观弹性PD模型来描述。如果PD力函数连续可微，必然存在一个标量函数 ，使得：

， （3）

由（3）式可知，必然存在一个标量函数 ，使得：

， （4）

将（4）式带入（3）式，得到微观弹性材料PD力函数的一般形式：

， （5）

由此可构建微弹性PD模型的本构力函数，Silling教授基于这一思路构建的微弹性PD模型应用较为广泛：

（6）

其中拉伸率s被定义为： 是用来判断物质点破坏情况的一个函数：

（7）

为材料的临界伸长率，当其伸长率超过 后，两物质点间就产生断裂。

（8）

式中 为材料的体积模量， 为杨氏模量。假设一个物体 经受一个均匀的变形，在物体 中选取一个点 ，过点 做一平面 将 分为 和 两部分，单位矢量 为平面 的法线且过点 ，定义一条直线 ：

（9）

则点 沿方向 的面力密度 为：

（10）

由此可与传统Piola-Kirchhoff应力张量 建立等式：

（11）

为实现数值积分，可将（1）式的基本运动方程离散为求近场点 处晶格的体积积分：

（12）

其中 为晶格的体积， 为体积缩减系数。

3.数值算例

考虑一陶瓷材料，承受单轴拉应力，假定陶瓷材料为各项同性的微观弹性材料，其杨氏模量为 ，近场邻域的半径为 ，泊松比为0.25，极限拉伸系数为 ，所受Y方向单轴拉应力为：

将晶格间距设为 时（ ）时，联立式（15）及式（18）求积分，求出材料的受力情况为：

由于受计算机计算精度及数值离散的影响，所得到的应力矩阵为非对称矩阵，可以看出当 时通过PD理论运算出的受力情况与实际受力情况之间的误差为0.63%。

4.结论

PD理论经过十多年的发展，已经形成了一套完整的理论，PD理论在分析固体材料的损伤及断裂方面的优势，使其分析不连续问题时具有强大的优势。通过积分求解，将近场邻域划分的段数越多，误差越小，但当划分的段数大于12段之后误差变化就不太明显，因此将近场邻域分为12段，此时的精确度为0.31%，已能够精确的反应材料的受力情况，不需再过多划分近场邻域的段数，而影响整个积分计算的计算效率。

参考文献：

[1]S.A.Silling. Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids 48（2000）175-209

[2]S.A.Silling.A meshfree method based on the peridynamic model of solid mechanics[J]. Computers and Structures 83 （2005）1526-1535

[3]S.A.Silling，R.B.Lehoucq.Convergence of Peridynamics to Classical Elasticity Theory[J].J Elast（2008）93：13-37

[4]B.Kilic，A.Agwai，and E.Madenci.Peridynamic theory for progressive damage prediction in center-cracked composite laminates[J].Composite Structures，90（2）：141-151，2009.

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