基于MATLAB的Newmark-β动力反应数值分析法的精度稳定性分析
摘 要:结构动力反应分析方法有很多,Newmark-β法是较为著名和常用的结构动力反应数值分析方法。作为一种好的数值分析方法必须是收敛的、有足够的精度及良好的稳定性。为此,我们利用MATLAB程序进行编程对该方法进行精度及稳定性的分析。
关键词:Newmark-β法 精度 稳定性
结构动力学着重研究结构对于动载荷的响应(如位移、应力等的时间历程),以便确定结构的承载能力和动力学特性,或为改善结构的性能提供依据。结构动力学同结构静力学的主要区别在于它要考虑结构因振动而产生的惯性力(见达朗伯原理)和阻尼力,而同刚体动力学之间的主要区别在于要考虑结构因变形而产生的弹性力。
结构动力反应分析方法有很多,但对于外荷载较大或结构位移较大时,结构可能进入弹塑性阶段或进入几何非线性分析,那么一般的叠加原理就不再适用,此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。其中Newmark-β法是较为著名和常用的结构动力反应数值分析方法,是一种隐式逐步积分方法。作为一种好的数值分析方法必须是收敛的、有足够的精度及良好的稳定性。为此,我们利用MATLAB程序进行编程对该方法进行精度及稳定性的分析。
1 MATLAB简介
MATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)的简称,是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。20世纪70年代,美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler为了减轻学生编程的负担,用FORTRAN编写了最早的MATLAB。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市场。到20世纪90年代,MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件。
MATLAB的基本数据单位是矩阵,它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多,并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。
2Newmark-β法的基本递推公式
3结构假设和参数说明
3.1结构假设
假设某单自由度结构,质量为28kg,总刚度为3875.5kN/m,阻尼系数为35kNs/m,结构柱的力-位移关系为理想弹塑性,初始时刻结构处于静止状态,计算总持时为3.2s。外荷载函数关系为:
P(t)=100t (0= P(t)=160-100t (0.8 P(t)=100t-320 (2.4 3.2编程参数说明 设质量为m,刚度为k,时间为t,位移为u,速度为v,加速度为w,阻尼为c,外荷载为p,等效荷载为pp,等效刚度为kk,时间步长为s ,参数β代换为x,参数γ=1/2并代换为y,积分常数为ai。 4 编程计算自振周期及稳定性条件: 计算自振周期Tn: m=28 k=3875.5 c=35 Tn=2*pi/(k/m)^0.5 Tn =0.5341 当β=1/4时算法无条件稳定;当β=1/6时,算法稳定性条件为s≤f=0.551Tn。 计算稳定性条件f: f=0.551*Tn f=0.2943 5 编程计算并绘制时程曲线 分别编写当s=0.1 γ=1/2 β=1/4、1/6时计算u v w的主程序和当s=0.32 γ=1/2 β=1/4、1/6计算u v w的主程序。程序清单(略)。 然后分别绘制时程位移曲线、时程速度曲线和绘制时程加速度曲线,并进行对比。 6计算结果分析 时程曲线图1、3、5表明,当γ=1/2 β分别取1/4、1/6不同值时,曲线1与曲线2略有偏离,说明Nemark-β法由于参数β、γ的取值不同,计算结果具有不同的精度。 当γ=1/2 β=1/4时Nemark-β法无条件稳定;当γ=1/2 β=1/6时Nemark-β法稳定性条件为时间步长小于等于0.551Tn。时程曲线图2、4、6表明,当时间步长为0.32大于稳定性条件f=0.2943时,曲线2与曲线1的偏离程度随时间t的推移迅速增大,计算结果趋向于发散,说明曲线2随时间t的推移失去稳定性。 参考文献: [1]刘晶波,杜修力 《结构动力学》 [B]机械工业出版社, 2004。 [2]唐友刚 《高等结构动力学》[B]天津大学出版社,2002。 [3]郭泽英,李青宁 结构地震反应分析的Newmark精细耦合级数显式方法 [J]工程力学,2009(01)。