函数项级数一致收敛的几个判别法

摘要：本文从数项级数的判敛法则出发，导出了几个函数项级数的一致收敛判别法．另外，仿照极限的夹逼原理，得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法．

关键词：函数项级数一致收敛

中图分类号：O173.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2011)06(c)-0000-00

1 由数项级数判别法则得到的三个命题

定理一设级数 为函数项级数， ，若 ，使 时有

，其中 ，且 在 上有界，则 在 上绝对一致收敛．

证明 不妨设 =1时就有 ，则可推得 2，3，．．．而 收敛，据M—判别法 在 上一致收敛．

推论设级数 为函数项级数， ，若 ， ，且 （ 1，2，3，．．．）于 有界，则 在 上绝对一致收敛．（本推论即定理一的极限形式）

证明：由且 得 （不妨取 使 ），

当 有 ，

即当 有 其中

而 收敛．据M—判别法， 于 绝对一致收敛．

定理二 设级数 为函数项级数， ．若 ，使 时有 ，且 ，则 在 上绝对一致收敛．

证明： 据条件， 时有

成立．由 收敛，据M—判别法， 于 绝对一致收敛．

推论设 为函数项级数， ，若

， ，则级数 于 绝对一致收敛．

证明：由 ，可见 （不妨取 使 ）， 当 有 即当 有 ，而 收敛．据M—判别法， 于 绝对一致收敛．

定理三设 ， 都定义在 上，若 有 ，且 于 一致收敛，且 ，当有 ，则 于 绝对一致收敛．

证明： 由 在 上一致收敛，且 ，

据Cauchy一致收敛准则： ， ，当有

而由 时，则当 时，便有

此即 在 上满足Cauchy条件，故 于 一致收敛．

2 由极限的夹逼原理得到的一致收敛判敛法

定理四已知 、 在 上一致收敛，且 ，当 有

，则 在 上一致收敛．

证明： 不妨设 开始，便有由 、 在 上一致收敛，根据一致收敛的Cauchy准则： ， ，当有

，即：

而

就必有

此即 在 上满足Cauchy一致收敛条件．

推论已知数项级数 、 都收敛，若 ，当 时有 ，则函数项级数 于 一致收敛．显然，当 即 为常数项级数，则可判 收敛。

定理五设函数列 ， ， ， 在 单调，且 及 都绝对收敛，则级数 在 一致收敛．

证明时只要注意有 并用定理四的推论即得.

参考文献：

[1] 陈传璋等.数学分析[M].高等教育出版社,1979.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,1981.

[3] R.柯郎,F.约翰.微积分和数学分析引论[M].科学出版社,2002.

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