“问题解决”教学法在数值分析教学中的应用研究

摘  要：《数值分析》是高等学校理工类硕士研究生的一门非常重要的数学基础课，旨在培养学生利用科学与工程计算这一手段来解决实际问题的能力。在全民创新的大环境下，当今研究生教育改革面临一个亟待解决的问题，那就是如何培养具有创新精神的高素质工程技术人才。近几年作者为理工类研究生开设《数值分析》课程，教学过程中开展了“问题解决”教学改革实践，实践证明，“问题解决”教学是教与学相互统一的过程，通过“问题解决”教学，可以大大提高学生的学习兴趣，激发他们的创新精神和创造力，为培养高素质创新型应用型人才打好基础。

关键词：数值分析;问题解决教学;传统教学;教学改革与实践

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）24-0127-03

Abstract： Numerical Analysis is a very important mathematics foundation course for graduate students of science and engineering in colleges and universities. It aims to cultivate students" ability to use scientific and engineering calculations to solve practical problems. Under the general environment of innovation for all， the reform of postgraduate education today faces an urgent problem to be solved， that is， how to cultivate high-quality engineering and technical talents with innovative spirit. In recent years， the author has opened the "Numerical Analysis" course for science and engineering graduate students. In the process of teaching， the "problem solving" teaching reform practice has been carried out. Practice has proved that the "problem solving" teaching is a process of unification of teaching and learning， through "problem solving". Teaching can greatly enhance students" interest in learning， stimulate their innovative spirit and creativity， and lay a solid foundation for cultivating high-quality innovative application-oriented talents.

Keywords： numerical analysis; problem-solving teaching; traditional teaching; teaching reform and practice

传统的应试教育已走过了几十年，其本身的弊端也随时代的变迁而日益凸显，改革的呼声此起彼伏。传统的应试教育将考试分数看作是唯一的学习成果， 难以培养具有创新精神的高素质工程技术人才。在全民创新的今天，改革传统的应试教育已成为历史的必然。在这种情形下，以“问题解决”为导向的教学方法应运而生，越来越受到人们的广泛青睐。

相比传统课堂教学，“问题解决”教学的基本模式是教师设置问题情境，学生在老师的指导下，通过以自主、探究、合作为特征的学习方式开展学习活动。具体地说，就是在教学过程中，模拟科学研究的过程，依循“问题-解决问题-验证”的流程，通过课堂上以及课外活动中展开自主学习、深入探究、讨论交流，对学生进行科学研究能力的训练。

数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术领域。数值分析也称计算数学，是数学科学的一个重要分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。随着近年来高等研究生教育改革的全面推进，大家围绕如何提高教学质量、完善课程体系、丰富教学内容上开展了大量卓有成效的工作，特别在基础课“数值分析”方面[1-16]。但是从培养具有创新精神的高素质工程技术人才来看，还是有较大的差距。以数值分析教学为例，目前的现状与问題是：1.教学模式是以传统的教学模式为主，唯分数论，忽视了对学生创新精神的开发。2.学生的学习主动性不强，被动地参与学习，影响了学习效果。为了解决这些问题，我们对教学方法进行了改革，以“问题解决”为导向，旨在探索一种以分析问题、解决问题、教与学互动的教学模式。通过探究各种经过设计的与数值分析密切相关的研究问题，引导学生深入思考，提高学生分析问题、解决问题的能力，打好理工科研究生的数学基础。

一、数值分析的“问题解决”教学法具体实施

2015-2017年连续三年，笔者分别为山东理工大学工科类研究生开设了数值分析这门课程，每年一个教学大班，约130人，授课学时48学时。教学过程中我们进行了“问题解决”教学改革试点。由于是大班授课，加上授课学时少，授课内容又多，对教学改革试点带来了很大的麻烦，有一些比较好的想法没法得到实施，只能根据实际情况加以调整，一定程度上影响了改革试点的效果。整体教学安排是，在开始阶段，向学生简单介绍即将开展的“问题解决”教学法的基本要求。授课过程中，根据实际情况，有时是课前给学生提出问题，给他们留出20-30分钟时间去讨论，前后左右的同学都可以在一起讨论，因为学生没有固定的座位，所以没有安排固定的分组，然后让几个学生代表对讨论的结果进行阐述，有好的想法及时进行鼓励表扬。有时，在每次课程结束前给学生留出下一次课的问题，让学生在课余时间去查资料，也可以讨论解决提出的问题;下一次课上课时对上一次提出的问题，随机抽取几人回答解决办法，最后根据学生回答的情况，对所提出的问题，加以详细系统的阐述，重点阐述将所研究问题的实际背景如何升华为数学问题，再如何通过引入数学概念，建立数学理论与方法，又反过来指导实际问题的解决。

开展“问题解决”教学方法改革的关键环节是设计和选择各类数值计算方法的“问题”，设置各种各样的问题情境，由于课时的限制，对数值分析这门课，仅限于介绍科学与工程计算中最常用的基本数值计算方法，包括插值与逼近、线性方程组与非线性方程求根、数值积分与常微分方程数值解法等，问题的提出，就是基于这几方面展开。

第一组问题：插值与逼近的方法。研究问题：1. 多项式插值的存在性与唯一性的问题;2. 拉格朗日插值方法以及余项问题;3. 根据拉格朗日插值的优点及缺陷，提出如何改进缺陷的问题，这就产生了牛顿插值;4. 根据龙格现象，提出低阶插值问题;5. 对于工程上对导数的更高要求，提出了艾尔米特插值和样条理论;6. 基于插值理论在某些应用方面的不足，提出了数据拟合的问题，相应产生最有代表性算法：最小二乘法;7. 最小二乘法是解决离散数据的拟合问题，但对于连续函数，它并不适应，由此提出函数的最佳平方逼近问题。

第二组问题：线性方程组的数值解法及非线性方程根的数值解法。研究问题：1.根据学生在本科阶段学到的线性方程组的消元法，提出了数值求解线性方程组的高斯消元法和主元素消元法;2.根据矩阵分解理论，提出三角分解法、平方根方法;3.根据方程组的特点，提出迭代法的思想，并进一步提出雅克比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法迭代;4.根据学生在本科数学课上学到的根的存在定理，提出数值求解方法：包括迭代法、牛顿法等。

第三组问题：数值积分与常微分方程数值解法。研究问题：1. 对于学生在本科阶段学到的积分学存在的实际问题：函数虽然可积，但原函数无法用初等函数表示，所以也就无法计算积分，根据这一实际问题，提出数值解法的问题，结合插值理论，自然地引入牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格求积公式;2. 依据正交多项式理论，提出高斯求积公式;3. 对常微分方程，依据导数定义，提出数值求解方法：欧拉方法，改进的欧拉方法;4. 利用泰勒公式，提出龙格-库塔方法。

我们在上述题目设计中，尽量考虑研一学生的知识结构，结合本科阶段所学的数学知识点，比如线性代数中的线性方程组的解法、高等数学中的零点定理、中值定理、积分学中的牛顿莱布尼兹定理等。对于理论问题的推证方面，尽量用他们学到的数学知识，这样学生在接受方面就不会很吃力，既复习了在本科阶段学到的数学知识，又锻炼了他们运用数学知识进行推理的能力，提高了他们对这门课的学习兴趣。

二、“问题解决”教学实践对学生产生的影响

“问题解决”教学方法产生了什么效果？给学生带来了哪些变化？通过学生反馈、问卷调研以及学生的考试成绩等几个方面，总结有以下几点：

（一）加深了学生对所学知识的理解，提高了学生分析问题和解决实际问题的能力

“问题解决”教学十分注重学生的主体性、主动性、自主性的发挥，注重引导学生通过问题的分析、推导，运用概念与理论较好地解决实际问题，在这个过程中学生要学会收集各方面的资料和信息，学会对已有的资料做多方面的分析，可促使学生的思维不断深化，并在力图对一个问题寻找多种解决方案的过程中培养和形成创造性思维。

（二）“问题解决”教学有利于促使学生学会学习

学会学习是创新型社会对人们能力的基本要求。在“问题解决”教学中教师通过有意识的引导，让学生自己去查资料，通过个体或群体合作的方式做出分析和判断，积极寻求答案，这样经过反复多次的积淀后，就会获得自主学习的方法，使学会学习成为现实。

（三）“问题解决”教学有利于促使学生学会沟通与合作

教学过程中，通常要经过小组、大组合作的思维撞击，在合作中互相沟通，在沟通中增进合作，在这个过程中教会学生相互沟通、尊重他人、关心他人，同时也增强了说服别人以及聆听他人的能力。

（四）在教学改革试点中，基于网络的自主学习成为学生们的一种很重要的学习方式

近年来网络的迅猛发展，为教与学方式的变革创造了条件，学生们通过网络可以进行信息搜索与处理。我们因势利导，将网络学习与资料查询作为“问题解决”教学改革的必要手段，学生通过网络了解所研究问题的应用背景，知道如何将其升华为数学问题，通过引入数学概念，建立数学理论与方法，又反过来指导实际问题的解决。

三、“问题解决”教学法在研究生数学基础课教学实践的几点思考

通过近三年的“问题解决”教学法改革实践，我们对数值分析这门数学基础课的教学改革有了一定的认识，也引起了我们更深入的理性思考。原来改革的初衷在于启发学生学习的兴趣，希望学生从听课、做习题、复习考试这一典型学习流程，过渡到学生参入到教与学的进程，通过学生与老师一起对数值分析这门课各种问题的解决，深化学生对所学知识的理解，激发他们学习这门课的积极性，打下坚实的数学基础，为将来做科学研究做好必要的数学知识储备。三年的教学实践，让我们感觉有必要从教与学的角度重新审视这一过程。

（一）“教”与“学”有了一些明显的变化

以往老师在教学过程中，特别是基础数学课的教学过程中，往往只重视“教”这一环节，而忽视了“学”这一环节，将“学”这一环节就简单的理解成学生听课、做作业、复习、考试，当然这与课时少、教学内容多也有一定关系，但不是根本的问题，根本的问题在于大家已“习惯”了这种传统的教学模式，在这种教学模式下，学生不能积极主动的参入到“教学”这一环节中来，只是被动的接受知识，很多人会感觉数学枯燥乏味，学习数学没有什么用处，也就不能激发学生学习数学的兴趣。

通过几年的“問题解决”教学实践，学生在“学”这一环节上有了一些新的变化，他们由开始的传统学习习惯，慢慢学会了基于“问题”自主进行学习，学会了思考和数学推理，学会了同学之间的沟通与合作，知道了合作的重要性，也加深了对所学内容的理解，比如说插值理论，有其实际应用背景，如何解决实际问题，提出了各种各样的解决方法：拉尔朗日插值、牛顿插值、低阶插值、艾尔米特插值、三次样条等等，但每一种解决方法都不是万能的，都有其一定的优势和局限性，如何熟练的运用这些方法解决实际问题，就要具体问题具体分析，作出合理的决策。

当然，“问题解决”教学法成倍的增加了教师的工作量，需要教师具有奉献精神，热爱教学、舍得投入精力研究教学。课堂教学质量的好坏是“问题解决”教学法是否成功的关键，教师要重视课堂教学的启发式教学方式，通过提出问题，引导学生思考，培养学生运用学到的数学知识分析和解决问题，在习题课讨论中，精选一些综合的题目，让学生充分讨论，做到举一反三的目的。

（二）提高了学生的综合素质

“问题解决”教学法激发了学生的内在学习动力，当学生们为一个研究问题所吸引或所困扰的时候，就会多方寻觅解决问题的办法，学生投入的学习时间成倍于以往的课后做习题的时间，正是这种全身心的学习投入，研读思辨，用研究探寻的科学态度来学习，帮助学生最终抓住解决问题之道。在这一“问题解决”教学法的过程之中，学生利用网络自主学习，提高了学习兴趣，拓展了学生视野，学生们在思与辨的过程中深化了研究内容。这种基于问题的学习已经超越了以往学生课外“自学”的内涵，教学与素质培养实现了该课程范围内一种无声的统一。

（三）遇到的问题与不足

虽然课程的教学改革取得了一定的成功，但也遇到了一些新问题与困难。从几年的实践来看，有以下几个问题需要加以解决。1. 没有比较合适的教材，开始我们选用清华大学李庆阳等编著的《数值分析》，该教材理论性偏强，课后练习基本以证明为主，学生学习难度颇大，不太适合工科类研究生，后来又选用了北京理工大学丁丽娟等编著的《数值计算方法》，该教材难易程度上比较适合作为工科类研究生教材。上述两种教材都缺少实际应用背景，仅仅介绍了相应的理论与方法，这可能是数学教材普遍存在的问题;2. 学时太少，教授内容又偏多，既要把内容讲授完，还要在课堂上充分调动学生的主动学习热情，一定程度上限制了教师与学生互动的发挥;3. 课上讨论或课后讨论上，部分学生不积极参与，敷衍了事，没有行之有效的办法去约束他们;4. 考试方面，还是传统的考试方式，对于学生自主学习与讨论的效果没有考虑进去，因为这方面确实不好量化，学校也没有相应的政策;5. 采用大班上课，一个班130余人，分组讨论十分不便，也不是每一个小组都能发表意见，由于时间的限制，仅有个别小组的代表发言，这在调动大家的积极性方面受到一定影响;6. 我校教师教学与科研压力较大，投入到教学改革方面的时间相对偏少，一定程度上会影响到教学质量。

以上是我们从近几年对研一理工类研究生开设《数值分析》的教学设计与教学心得。将“问题解决”教学方法应用于研究生的数值分析课中，有成功的经验，也有待进一步提高之处，需要进一步总结。下一步还要进一步完善、丰富问题库，这是一个更重要的、更基础性的工作，也是“问题解决”教学成败的关键。

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