试析建模思想在初中数学复习中的应用

计划修建一条横截面为梯形的输水渠道，已知横截面面积为4.05m2，上口宽比渠底宽1.4m，渠深比渠底宽小0.5m。求渠道的上口宽与渠深分别是多少。

分析：联系实际生活，问题本身属于工程问题，在建模思想的引导下可尝试使用方程建模予以解决，运用到的数学知识还主要涉及梯形面积的计算公式。

解：假设渠底宽为x，则上口宽即为x+1.4，渠深即为x-0.5，已知梯形横截面面积为4.05m2，利用梯形面积计算公式建立方程，即为

[x+（x+1.4）]（x-0.5）2=4.05

解得x1=2，x2=-2.2，x2不合题意所以舍去，得出渠底宽为2m。

答：上口宽为2+1.4=3.4m，渠深为2-0.5=1.5m。

例题1是比较简单的方程建模，还有一些问题需要利用方程组建模进行解答，比如“鸡兔同笼”的问题。

例题2 买四只鸡、六只兔时，一共需要花费48元，而当买三只鸡、五只兔时，一共需要花费38元。问鸡和兔的单价分别是多少？

分析：“鸡兔同笼”问题是古代一个复杂的数学问题，但是利用建模思想就可以轻松解答，进行方程组建模的关键就是题干中的两组等量关系。

解：假设鸡的单价为x元，兔的单价为y元，则建立方程组模型如下

4x+6y=483x+5y=38

解得

x=6y=4

答：鸡的单价为6元，兔的单价为4元。

（二） 不等式建模

等量关系存在的同时，不等量关系也具有普遍性，尤其是在分配问题、营销问题、统筹问题等问题上，不等量关系比等量关系存在的可能性更大，在遇到这一类问题时，就需要利用不等式建模，对实际问题进行解决。

例题3 某校组织学生春游，有若干名学生，准备了若干辆校车，如果每辆校车坐4名学生，则余下18名学生没有车可坐;如果每辆车坐6名学生，则有一辆车坐不满。问一共有多少名学生和多少辆校车？

分析：通过阅读题干，提炼信息，可以发现这是一个不等量数量关系，由此可建立不等式模型，考虑实际情况中学生与校车只可能为正数和整数，则可以确定合理答案。

解：假设该校安排校车x辆，则有（4x+18）名学生，可建立不等式方程如下

（4x+18）-6（x-1）>0（4x+18）-6（x-1）<6

解得

9

∵校车数为正整数

∴x=10或者x=11

当x=10时，4x+18=58;当x=11时，4x+18=62

答：该校一共有学生58名，安排校车10辆;或者有学生62名，安排校车11辆。

（三） 函数建模

函数的本质是事物之间的广泛联系，是量与量之间的依存关系，包含数量关系及变化规律，常见的如解决成本问题、利润问题、优化问题等问题都可以利用函数建模予以解决。在初中数学复习中，函数建模的相关运用占有较为关键的位置，通过函数建模，着力培养学生用函数看待、解释、解决问题的思维习惯及应用能力，实现学生数学思维意识的提高。

例题4 某省湿地公园面积12万公顷，规划今后10年每年扩建面积相同，约为0.61到0.62万公顷。请预估6年后该省湿地公园总面积为多少万公顷。

解：假设P为该省今后10年每年扩建的公顷数，根据题意0.61≤P≤0.62，用S表示6年后該省湿地公园总面积（单位：万公顷），则S=6P+12。

根据一次函数性质，一次项系数k=6>0，所以S会随P的增大而增大。

∵0.61≤P≤0.62

∴6×0.61+12≤S≤6×0.62+12，即15.66≤S≤15.72

答：6年后该省湿地公园总面积将在15.66万公顷和15.72万公顷之间。

例题4是比较简单的一次函数建模，较为复杂的一次函数建模还可利用等式方程建模、不等式方程建模等进行问题的解决。

（四） 图表建模

图表建模的最大优势是通过条理清晰，直观明确的方式将数学信息进行梳理列举，按照不同的类型将数学信息进行排列，以方便对问题进行解决，而且利用图表不容易遗漏关键信息。利用图表建模可以对频率、分类、统计等问题进行有效解决，在实际的应用当中具有普遍性。特别是在研究工作以及论文写作当中，图表具有不可忽视的作用，其有利于发现各种变量之间的关系，生动、形象地使复杂和抽象的问题变的直观、清晰，可以代替大量的复杂的文字说明，节省篇幅。

例题5 人类有A、B、O和AB四种血型。在学校组织的一次体检中，一班的血型检测结果是在40名学生当中，A型16人，B型5人，O型有45%，剩余都是AB型。二班的血型检测结果是在45名学生当中，A型有40%，AB型2人，O型20人，剩余都是B型。请制作能说明一班和二班血型统计情况的图表。

解：要想绘制能说明一班和二班的血型统计情况的图表，要先确认一班和二班的每种血型的人数，那么现在未知的就是一班的O型和AB型，二班的A型和B型。

根据题目信息，先确认一班的O型和AB型。

∵一班的O型占一班人数的45%

∴O型人数为40×45%=18人，为此AB型人数为40-16-5-18=1人

再确认二班的A型和B型。

∵二班的A型占二班人数的40%

∴A型人数为45×40%=18人，为此B型人数为45-18-2-20=5人

一班和二班人数确认后，即可进行血型统计表的绘制。

通过例题5，可以明确地看出如何进行图表建模，首要问题是利用数学方法处理题目中的量与量之间的关系，由此将绘制图表中所涉及的数学信息进行全部确认，最终完成图表的绘制。

四、 结语

综上所述，建模思想是初中数学复习中常见且必要的数学知识要点，通过建立数学模型解决问题，有利于使学生掌握运用数学知识解决实际问题的方法，从而实现数学学习效果的提高，热情的增加，理解的加深。基于此，初中数学教师在安排相关复习任务时，应选择与实际生活情况有所贴近的学习资料，并大力鼓励学生们运用建模思想去思考问题、解决问题，并且在平时的初中数学教学当中，教师也应该有意识的加强对数学建模内容的授课，帮助学生树立关于建模思想的系统认识与理解。

参考文献：

[1]高仕聪.初中数学教学中运用建模思想的研究[J].儿童大世界（下半月），2019（3）：33.

[2]李春香.浅谈如何在初中数学教学中渗透建模思想[J].魅力中国，2019（3）：4.

[3]张华富.数学建模专题复习教学初探[J].中国数学教育（初中版），2019（7）：34-37.

[4]于春梅.构建数学模型，培养核心素养—探究初中数学路径最短问题的解决策略[J].中学数学，2019（16）：65-66.

[5]许波琴.建模思想在初中数学中的体现[J].数学大世界（中旬版），2019（6）：9-10.

[6]刘荣.建模思想在初中数学复习中的应用[J].中学数学，2019（18）：28-29.

[7]王卫军.基于初中数学核心概念及其思想方法的概念教学设计——“代数方程的复习（1）”的实践[J].上海中学数学，2016（12）：43-45，48.

[8]崔慧.运用建模思想解答数学问题[J].数理化学习（初中版），2014（8）：23.

[9]蔺丽娟.浅谈初中数学复习课中建模思想的应用[J].山东教育（中学刊），2013（11）：80-82.

作者简介：童纪江，浙江省余姚市，浙江省余姚市姚江中学。

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